Добавил:

LuCalm Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический анализ

Файл:

МА_Метода

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.07.2019

Размер:

637.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

< ε. Отсюда следует, что при любом способе выбора точек ξk [ xk, xk+1 ] формула

				n−1
				Xk
		SΠξ (f) = h			f(ξk)
				=0
есть квадратурная формула.
Выбирая	ξr следующими		тремя	способами:		1) ξk = xk (ðèñ. 6.3);
			0		xk + xk+1	(рис. 6.5), получим три
2) ξk = xk+1	(ðèñ. 6.4); 3) ξk		= xk =
2) ξk = xk+1	(ðèñ. 6.4); 3) ξk		= xk =
y . .			y . .	2		y . .
y . .			y . .			y . .
	.	f(xk+1) ............				.

	.		. .
	.		. .
	.		. .
f(xk) ......... .			. .
.	.		. .
.	.		. .
.
. .			. .
. . .			. . .
..... .....
0 xk xk+1		.x	0 xk xk+1	.x
	Ðèñ. 6.3		Ðèñ. 6.4

			.
f(x0			.
f(x0		) ...........
k			. .
			.
			. .
			. .
			.
			. . .
			.
			.
			. . .
			.
			. . .	.
			.	.
......
	0		xk x0 xk+1	.x
	0		k

Ðèñ. 6.5

квадратурные формулы:

	n−1
	nkP1
1) S ëåâ(f) = h		f(xk) формула левых прямоугольников;
n	=0
	=0
	−	x		+ x
	nP1	x		+ x
2) S ïð(f) = h		f(xk+1) формула правых прямоугольников ;
n	k=0
	k=0
3) S ñð(f) = h	−	f(	k		k+1	) формула средних прямоугольников.
3) S ñð(f) = h	P	f(				) формула средних прямоугольников.
Названия эти	P						f
n	k=0			2
	k=0			2
	связаны с тем, что для положительной функции фор-

ìóëû S ëåâ(f), S ïð(f), S ñð(f) дают площади ступенчатых фигур (см. рис.
n	n	n

6.3 6.5).

Другой способ получения квадратурной формулы заключается в заме-

xk+1

не интеграла

f(x) dx на интеграл от линейной функции, задающей

уравнение

(xk, f(xk)) è (xk+1, f(xk+1)):

прямой, которая проходит через точки

xk+1

f(x

) +

(f(xk+1) − f(xk))(x − xk)

dx =

f(xk) + f(xk+1)

h = sòð.

−

Суммируя эти интегралы, получим формулу

f(x0) + f(xn)

n−1

f(xk)!.

Sn = h

òð

Полученная формула	называет-
ся формулой трапеций, так	êàê (ïðè
f(x) > 0)

y . .

f(xk+1) ............................

f(xk) + f(xk+1)

sk =

f(xk)

.........

òð

есть площадь трапеции, боковую сторону

которой

образует

отрезок,

соединяю-

. .

....

0 xk

щий точки (xk, f(xk)) è

(xk+1, f(xk+1))

xk+1 x

Ðèñ. 6.6

(ðèñ.6.6).

Полученная формула является квадратурной, поскольку

S òð =

(S ëåâ + S ïð),

а формулы S ëåâ(f) è S ïð(f)

являются квадратурными и, следовательно

b − a

ε > 0

δ > 0, такое что

n >

S òð

−

< ε.

Если подынтегральная функция дважды непрерывно дифференцируе-

ма на промежутке [a, b], то справедливо следующее предложение.

Предложение 6.2. Пусть J =

dx, M

sup

00 (x) . Тогда

(

)

2 = x [a,b]

S òð

−

≤

M2(b − a)3

12n2

Доказательство. Сначала

оценим

-модуль разности между инте-

f(0)+f(h)

гралом J = R0

f(x) dx è S òð = h

. Напишем уравнение прямой,

ïðî-

ходящей через точки (0, f(0)) è (h, f(h)): y

= f(0) + (f(h) − f(0))

рассмотрим дважды дифференцируемую функцию

ϕ(x) = f(x) − y − Kx(x − h) = f(x) − f(0) − (f(h) − f(0))

− Kx(x − h).

Подстановкой легко проверяется, что ϕ(0) = ϕ(h) = 0. Возьмем произвольную точку ξ (0, h) и потребуем, чтобы ϕ(ξ) = 0. Это справедливо, если

K(ξ) = h (f(ξ) − f(0)) − ξ (f(h) − f(0)). hξ(ξ − h)

Èòàê, äëÿ 0 < ξ < h ϕ(0) = ϕ(ξ) = ϕ(h) = 0. Применяя к функции ϕ(x)

теорему Ролля 4.5 на отрезках [0, ξ] è [ξ, h], получаем, что существуют точки c1 (0, ξ) è c2 (ξ, h) такие, что ϕ0 (c1) = ϕ0 (c2) = 0. Òàê êàê

A→+∞ a

0 = ϕ00 (c) = f 00 (c) − 2K,

ϕ0 (x) - дифференцируемая функция, то по теореме Ролля 4.5 получим, чтоc (c1, c2) (0, h) такая, что ϕ00 (c) = 0. Значит

откуда K =

f 00 (c)

и, следовательно, c (0, h):

f(ξ) − y = ϕ(ξ) + K(ξ)ξ(ξ − h) = K(ξ)ξ(ξ − h) =

f 00 (c)

− h).

ξ(ξ

Тогда, в силу произвольности ξ, x (0, h)

f(x)

−

|f 00 (c)|

x(x

−

| ≤

x(x

−

h (f(x)

y) dx

h M2

x(x

dx =

hx(h

x) dx =

M2h3

−

≤ Z

−

Рассмотрим

теперь промежуток

, разобьем его на n частей

[a, b]

h =

−n

и применим на каждом промежутке [xk, xk+1] полученную

выше оценку:

S òð

n−1

(b − a)3

M2(b − a)3

n−1 1 =

M2(b − a)3

n −

≤

12n3

12n2

7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

7.1. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку Определение 7.1. Пусть функция f кусочно-непрерывна на [ a, +∞).

					A		) и обозначается
венным интегралом от функции fRïî [ a, +							) и обозначается
Если существует конечный				lim f(x) dx, то он называется несобст-
			A→+∞ a			∞
+∞						∞
+∞					A
Za	(	x	)	dx	= A→+∞ Za	f(x) dx.
f		x		dx	lim	f(x) dx.

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция f

интегрируема на [ a, +∞). Если lim	A
интегрируема на [ a, +∞). Если lim	f(x) dx не существует или беско-
нечен, то говорят, что	R

несобственный интеграл расходится.

Пусть	функция f кусочно-непрерывна на									(−∞, a ].	Если существует
Пусть	a									(−∞, a ].
конечный	lim f(x) dx, то он называется несобственным интегралом
B→−∞ B			, a ] и обозначается
от функции f поR(		−∞	, a ] и обозначается
		−∞	a					a
			a					a
			f	(	x	)	dx	lim	f(x) dx.
			Z	(		)		= B→−∞ Z
		−∞						B

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция f

интегрируема на (−∞, a ]. Если Blim

f(x) dx не существует или беско-

→−∞ B

нечен, то говорят, что

несобственный интеграл расходится.

+∞ dx

Пример 7.1.

сходится при λ > 1 и расходится при λ

xλ

−

λ A

−

− 1

≤

Действительно, при λ = 1,

. Следователь-

íî,

xλ

1 −

λ 1

1 − λ

1. Åñëè λ > 1, òî

lim

A1−λ = 0

lim

xλ = λ − 1

A→+∞

A→+∞ Z1

и значит

+∞ dx

xλ сходится.

Åñëè

λ < 1, òî

lim

A1−λ = +

lim

= +

A→+∞

∞ A→+∞ Z1

xλ

∞

+∞ dx

xλ

расходится.

3. Åñëè λ = 1, имеем

= A→+∞

| | 1

A→+∞

∞

A→+∞ Z

lim

ln x

lim ln A = +

+∞ dx

значит

расходится. •

Теорема 7.1. Пусть функции f и g интегрируемы на [ a, +∞) и α, β R, тогда функция αf + βg интегрируема на [ a, +∞) и справедливо равенство

+∞		+∞		+∞
Za	(αf + βg) (x) dx = α	Za	f(x) dx + β	Za	g(x) dx.

Доказательство следует из определения 7.1 и линейности определенного интеграла и предела.

Теорема 7.2 Пусть b > a, тогда несобственные интегралы

+∞

f(x) dx è	f(x) dx сходятся или расходятся одновременно. Если они
a	b
сходятся, то справедливо равенство
	+∞		Z	b	+∞
	Z	f(x) dx =	Z	f(x) dx +	Z	f(x) dx.
	a		a		b

Доказательство следует из аддитивности определенного интеграла по промежутку.

Теорема 7.3 1. Если F первообразная к функции f на [ a, +∞), то остается справедливой формула Ньютона-Лейбница в виде

+∞

Z	f	x	)	dx	=	F	x	) a	lim F (x)	−	F (a).
Z	(		)		=	(		) a	= x→+∞	−
a

2. Пусть функции u и v - непрерывно дифференцируемы на [ a, +∞).

+∞

Если сходятся несобственные интегралы

u(x)v0 (x) dx è

u0 (x)v(x) dx,

по частям

то справедлива формула интегрирования R

+∞

u x

lim

(u(x)v(x))

−

a v

) − Za

dx.

( )

(

)

= x→+∞

(

) (

(

)

(

)

Доказательство следует из формулы Ньютона-Лейбница и формулы

интегрирования по частям для определенного интеграла.

+∞

Определение 7.2.

Если сходится

несобственный интеграл

+∞

|f(x)| dx, то говорят, что несобственный интеграл

f(x) dx ñõî-

дится абсолютно. Функция называется абсолютно интегрируемой на

[ a, +∞).

Можно показать, что если несобственный интеграл сходится абсолютно, то он и просто сходится, а обратное утверждение неверно.

Определение 7.3. Пусть функция f кусочно-непрерывна на R. Если

						a		+∞
a R несобственные интегралы						R		R	+
						−∞		a	∞
по определению									R
говорят, что сходится несобственный интеграл									f(x) dx и полагают
								−∞
		+∞		a			+∞
		Z	f(x) dx = Z			f(x) dx + Z		f(x) dx.
		−∞		−∞			a
При этом функция f называется интегрируемой на R.
Åñëè æå		a		a R +
	существует			такое, что хотя бы один из несобствен-
		R			∞
ных интегралов		R		R
		−∞		a
				+∞
несобственный интеграл				R
несобственный интеграл				f(x) dx расходится.

−∞

Замечание 7.1. Теоремы 7.1 , 7.3 и определение 7.2 остаются справед-

ливыми при соответствующих изменениях формулировок и для несобствен-
ных интегралов	a	f(x) dx,	+∞
ных интегралов	R	f(x) dx,	f(x) dx, а теорема 7.2 справедлива и для
	R		R
	−∞		−∞

несобственного интеграла R f(x) dx.

−∞

Определение 7.4. Пусть f кусочно-непрерывна на R. Если сущест-

	A
вует конечный lim	R	f(x) dx, то он называется главным значением
A→+∞−A		+∞	+∞
		R	R
несобственного интеграла			f(x) dx и обозначается v.p. f(x) dx.
		−∞	−∞

Замечание 7.2. Из определений 7.3 и 7.4 следует, что если сходится

+∞

несобственный интеграл R f(x) dx, то существует и главное значение этого

−∞

несобственного интеграла и они равны. Обратное неверно.

1/x, x (−∞, −1],

Например, для функции f : R → R, f(x) = x, x (−1, 1),

1/x, x [1, +∞)

−∞

A→+∞

v.p. +∞f(x) dx =

−1

lim

−A

dx +

x dx +

−

−1

A→+∞ ln | − 1| − ln | −

| +

+ ln |

| − ln |1| = 0

lim

и главное значение существует. С другой стороны, несобственный интеграл
+∞f(x) dx =	+∞	dx	расходится (пример 7.1) и, следовательно, расходится
+∞f(x) dx =	+∞		расходится (пример 7.1) и, следовательно, расходится
+R	R	x
1	1
∞
R
f(x) dx.
−∞
7.2. Несобственный интеграл по конечному промежутку
Определение 7.5. Пусть функция f									кусочно-непрерывна на [ a, b).
								β
Если существует конечный							lim f(x) dx, то он называется несобст-
						β→b−0 a
венным интегралом от функции fRпо [ a, b) и обозначается
			b					β
			f		x		dx	lim	f(x) dx.
			Za	(		)		= β→b−0 Za

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция f

		β
интегрируема на [ a, b). Если		lim f(x) dx не существует или бесконе-
		β→b−0 a
чен, то говорят, что	несобственный интеграл расходится.
чен, то говорят, что		R
Пусть функция f кусочно-непрерывна на (a, b ]. Если существует ко-
b

нечный lim f(x) dx, то он называется несобственным интегралом от

α→a+0 α
функции f наR(a, b ] и обозначается
b							b
f		x		dx		lim	f(x) dx.
Za	(		)		=	α→a+0 Zα

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция f

				b
интегрируема на (a, b ]. Если		lim f(x) dx не существует или бесконе-
		α→a+0 α
чен, то говорят, что	несобственный интеграл расходится.
чен, то говорят, что				R
Пример 7.2. Интегралы Za			b		, Za	b
				dx			dx	λ < 1 è

				(x − a)λ		(b − x)λ сходятся при

расходятся при λ ≥ 1. Покажем это для первого несобственного интеграла:

(x − α)1−λ

b , λ = 1

α)1−λ

(α

a)1−λ

−

, λ 6= 1

1 − λ

−

(x a)

−

ln(b

−

ln(α

−

a), λ = 1.

ln |x − a| α, λ = 1

−

, λ < 1

Следовательно,

lim

−

и значит

α→a+0 Z

−

∞

≥

сходится при λ < 1 и расходится при λ ≥ 1. •

(x − a)λ

Теорема 7.4. Пусть функции f и g интегрируемы на [ a, b) и α, β R, тогда функция αf + βg интегрируема на [ a, b) и справедливо равенство

	b	b	b
Za	(αf + βg) (x) dx = α Za	f(x) dx + β Za	g(x) dx.

Теорема 7.5. Пусть a < d < b и функция f кусочно-непрерывна на

расходятся одновременно и, если они							b		b
расходятся одновременно и, если они							R		R
[a, b), тогда несобственные интегралы								f(x) dx и f(x) dx сходятся или
							a		d
						сходятся, то
	Z	b	d	f(x) dx + Z					b
	Z	f(x) dx = Z		f(x) dx + Z					f(x) dx.
	a		a					d
Теорема 7.6 1. Если F			- первообразная к функции f на [a, b), то
остается справедливой формула Ньютона-Лейбница в виде
Z	b				=		lim F (x) − F (a).
Z	f(x) dx = F (x) b				=		lim F (x) − F (a).

ax→b−0

2. Пусть функции u и v непрерывно дифференцируемы на [ a, b). Ес-

ли сходятся несобственные интегралы

u(x)v0 (x) dx è

(x)v(x) dx, òî

справедлива формула интегрирования поR

частям

)

( )

= x→b−0

( (

)

( )) −

( )

(

) − Za

u0 (x)v(x) dx.

v0 x

lim

v x

u a

3. Пусть функция f непрерывна на [ a, b) (b может быть +∞) a функция ϕ : [ α, β) → [ a, b) непрерывно дифференцируема на [ α, β) (β

может быть +∞), причем ϕ(α) = a, lim ϕ(t) = b, тогда справедлива

t→β

формула замены переменной

f(x) dx = f (ϕ(t)) ϕ0 (t) dt.

Доказательства этих теорем повторяют доказательства аналогичных теорем из 7.1.

Замечание 7.3. Теоремы 7.4 , 7.5 и 7.6 остаются справедливыми при соответствующих переформулировках и для несобственных интегралов по

(a, b].

Определение 7.6. Пусть функция f кусочно-непрерывна на (a, b).

c	b
Если при всех c (a, b) несобственные интегралы R f(x) dx è	R f(x) dx

сходятся, то говорят, что сходится несобственный интеграл

и полагают	b	c	f(x) dx + Z	b

	Z	f(x) dx = Z		f(x) dx.

c b

f(x) dx

a a c

При этом функция f называется интегрируемой на (a, b). Если же су-

b	c (a, b)		c	fb(x) dx è
b	c (a, b)		Ra	fb(x) dx è
ществует		такое, что хотя бы один из интегралов		R
R				R
f(x) dx расходится, то говорят, что несобственный интеграл				f(x) dx
c				a
расходится.
Определение 7.7. Пусть функция f кусочно-непрерывнаc				íà [a, b]\
\{c}, где c (a, b). Если сходятся несобственные интегралы			Ra	f(x) dx è

f(x) dx, то говорят, что сходится несобственный интеграл

f(x) dx

и полагают

f(x) dx = Za

f(x) dx + Zc

f(x) dx.

При этом функция f

называется интегрируемой на [a, b] \ {c}. Если же

хотя бы один из несобственных интегралов

f(x)bdx è Rc

f(x) dx расхо-

интеграл

f(x) dx расходится.

дится, то говорят, что несобственныйc−ε

, òî îí íà-

Если существует конечный

lim

f(x) dx

+c+ε

f(x) dx

ε→0+0

зывается главнымb

значением несобственного интеграла

f(x) dx è

обозначается v.p. R f(x) dx.

Так же, как и в случае несобственного интеграла по бесконечному про-

межутку, из сходимости несобственного интеграла R f(x) dx следует су-

ществование главного значения, а обратное неверно.

7.3. Признаки сходимости несобственных интегралов

Сходимость или расходимость несобственного интеграла от неотрицательной функции можно установить, сравнивая его с каким-нибудь другим несобственным интегралом от неотрицательной функции, о сходимости которого все известно.

Теорема 7.7 (признак сравнения). Пусть функции f и g кусочнонепрерывны на [ a, +∞) и пусть x [ a, +∞) 0 ≤ f(x) ≤ g(x), тогда:

+∞

1) если сходится

dx, то сходится

f(x) dx;

Ra + (

)

∞

расходится

2) если расходится

f(x) dx, òî

Ra g(x) dx.A

Доказательство. Функции F (A) =

f(x) dx è G(A) =

g(x) dx íå

∞

убывают. Если сходится

g(x) dx,

òî

èç

неравенства

f(x)dx ≤

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
02.07.2019300.85 Кб41 сем_вопросы_ч1.jpg
#
02.07.2019207.11 Кб41 сем_вопросы_ч2.jpg
#
05.07.20191.13 Mб52 сем_вопросы.jpg
#
02.07.201917.39 Mб33Демидович_матан.pdf
#
02.07.2019637.1 Кб56МА_Метода.pdf