МА_Метода

такое, что x > b выполняется неравенство k − ε <

f(x)

< k + ε, откуда

g(x)

+∞

(k

−

ε)g(x)

< f(x) < (k + ε)g(x). Пусть сходится

Ra

f(x) dx, тогда по

+

∞

теореме 7.2

сходится и Rb

f(x)

dx. Из полученного выше неравенства, по

+∞

теореме 7.7 , следует сходимость

(k

−

ε)g(x) dx. Далее, по теореме 7.1

+

∞

Rb

+

∞

сходится Rb

g(x) dx, и, снова по+теореме 7.2 сходится

Ra

g(x) dx.

∞

+

Обратно, пусть сходится Ra

g(x)+dx, тогда по теореме 7.2 сходится

∞

∞

Rb

по теореме 7.1 сходится

Отсюда по теореме

g(x) dx, è +

Rb (k + ε)g(x)+dx.

∞

∞

7.7 сходится

Rb

f(x) dx и по теореме 7.2 сходится

Ra

f(x) dx.

b

b

1)

если сходится Ra

gb(x) dx, то сходится Ra

f(xb) dx;

2)

если расходится

Ra

f(x) dx, то расходится Ra

g(x) dx.

неравенства f x

> 0, g(x) > 0. Если существует конечный

lim

f(x)

=

0 g(x)

( )

x

b

−

6

b

→

b

(

R

)

R

6= 0, òî a

f(x) dx сходится тогда и только тогда, когда сходится

a

g(x) dx

x

e−t

dt.

erf(x) = √π Z0

2

2

erf(−x) =

√π

−x

x

ds = −erf(x).

Z0 e−t

dt = −√π Z0

e−s

2

2

2

2

0

2

e−x

2

По теореме 6.8

erf (x) =

√

> 0, следовательно, функция возрастает.

π

00

4

xe−x

2

Òàê êàê erf (x) = −√

> 0, òî x = 0 точка перегиба и на (−∞, 0)

π

функция выпукла вниз, а на (0. + ∞) выпукла вверх.

2

+∞

Òàê êàê e−x ≤ e−x äëÿ x [1, +∞) è

0

e−x dx = 1 сходится, то по

R

сравнения

(теоре-

признаку

y .

ìà

7.7 ) сходится

+∞e−x2 dx è

1 . . . . . . . . . .

0

Функция

lim

erf(x)

конечен.

R

. 1

0

.

x→+∞

. −

erf нечетная, следовательно

......

1

x

lim erf(x) =

lim

erf(x).

. . . . . . . . . .

1

x→+∞

− x→−∞

−

Можно показать, что

Ðèñ. 7.1

xlim

erf(x) = ±1.

→±∞

ралом ошибок. Существуют подробные таблицы ее значений [ 9 ]. В теории

1

x

вероятностей чаще используется функция

Φ(x) =

R

e−t2

/2 dt, ÿñíî,

√

√2π −∞

÷òî Φ(−x) = 1 − Φ(x) è Φ(x) =

erf(x/

2) + 1

.

2

2. Интегральный синус Si : R → R определяется формулой

x

t

dt.

Si(x) = Z0

sin(t)

−

−x

t

x

−s

x

s

−

Z0

− Z0

− Z0

Si( x) =

sin(t)

dt =

sin(−s)

ds =

sin(s)

ds =

Si(x),

0

sin(x)

0

Si (x) =

è Si (x) = 0 x = πk, k Z \ {0}.

x

Очевидно,

(−1)k

Si 00 (x) =

x cos(x) − sin(x)

Si 00 (πk) =

,

x2

πk

x→+∞

+∞

t

= 2

Z0

lim Si(x) =

sin(t)

dt

π

.

. . . . . . . . . . . . . .. . . . .

2

.

.

.

.

0

.

.

.

............

−3π

−2π

−π

π

2π

3π

x

.

π

. . .. . . . . . . . . . . . . . . . −

2

Ðèñ. 7.2

3. Интегральный косинус Ci : (0, +∞) → R определяется формулой

+∞

t

dt.

Ci(x) = − Zx

cos(t)

Проинтегрировав по частям, получаем

+∞

t

A

t

=

Zx

= A→+∞ Zx

cos(t)

dt

lim

cos(t)

dt

= A→+∞

t

x

+ Z

t2

= −

x

+ Z

t2

sin(t)

A

A sin(t)

sin(x)

+∞sin(t)

lim

x

dt

x

dt. Учитывая оцен-

+

Z

∞

1

êó | sin(t)| ≤ 1 и сходимость интеграла

dt при x > 0 видим, что для

t2

0

cos(x)

0

0 x = −

π

+ πk, k N.

Ci (x) =

è Ci (x) =

x

2

Очевидно,

Ci

00 (x) =

−

x sin(x) + cos(x)

Ci 00

(

−

π

+ πk) =

(−1)k

, k

N

,

x2

2

π

−

2

+ πk

следовательно, в точках π2 + 2πk, ãäå k ≥ 0, функция Ci имеет максимумы;

π

в точках −2 + 2πk, ãäå k > 0, функция Ci имеет минимумы. Точками

перегиба функции Ci являются корни уравнения ctg(x) = −x.

Можно показать, что lim Ci(x) = 0 è

lim Ci(x) =

−∞

.

x→+∞

x→0+0

ha, bi → R (a, b, c, d R). Пусть x hc, di функция f

интегрируема на

ha, bi по переменной t.

вается интегралом, зависящим от параметра x.

b

Ra

Определение 8.1. Функция I : hc, di → R I(x) =

f(x, t) dt íàçû-

≤

ϕ(t). Предположим также, что для любых t

h

a, b

i x

x0

lim f(x, t) = g(t).

b

→

h

i

x→x0

(

)

Тогда функция g интегрируема на

a, b

Ra

dt.

è lim I(x) =

g t

|f(x, t)| ≤ ϕ(t). Предположим также,

что для любого t ha, bi

lim f(x, t) = g(t). Тогда функция I непрерывна в точке x0, ò. å.

x→x0

b

b

Z

Z

I(x0) = lim f(x, t) dt =

f(t, x0) dt.

x→x0

a

a

Теорема 8.2 (правило0

Лейбница). Пусть для любого x hc, di

и t ha, bi существует fx(x, t) и существует интегрируемая на ha, bi

◦

0

функция ϕ такая, что для любых x Kε(x0) ∩ hc, di |fx(x, t)| ≤ ϕ(t).

b

Тогда существует I 0 (x0) = Ra

fx0 (x0, t) dt.

Доказательство теоремы см. в [ 7 ] (т. 7.4).

+∞e−xt

Пример 8.1. Рассмотрим интеграл I(x) =

sin(t)

dt, x > 0.

Покажем, что x0 > 0 можно осуществить

R

t

0

предельный переход под знаком

интеграла.

sin(t)

Функция

e−xt

t

≤ e−(x0−ε)t = ϕ(t).

интегрируема

íà

.

ϕ(t)

(0, + )

∞

Следовательно, по теореме 8.1 можно осуществить предельный пере-

◦

òî lim

e−xt

sin(t)

= 0 è

lim I(x) = 0.

t

x→+∞

x→+∞

Рассмотрим теперь вопрос об дифференцируемости интеграла I(x) ïî

параметру x: òàê êàê f(x, t) = e−xt

sin(t)

, òî fx0 (x, t) = −e−xt sin(t). Åñëè

t

x

0

> 0, òî

x

◦

(x

)

f

0

(x, t)

| ≤

e−xt

≤

e−(x0−ε)t = ϕ(t). Функция ϕ(t)

Kε

0

|

x

0

(x) =

интегрируема на (0, +∞). Следовательно, по теореме 8.2 , при x > 0 I

+∞

= − e−xt sin(t) dt. Применяя два раза интегрирование по частям, полу-

÷àåì R0

+∞

I 0 (x) = −1 + x2

Z0

e−xt sin(t) dt = −1 − x2I 0 (x).

Значит, I

0 (x) =

−1

I(x) =

−

arctg(x) + C. Окончательно, используя,

1 + x2

è

π

π

÷òî lim

I

x

) = 0

, получаем, что C =

è I

x

) =

−

arctg(x).

2

x→+∞

(

2

(

≤

x→0 1

1

t

Z0

1). Тогда по следствию 8.2

lim I

(x) =

sin(t)

dt.

Рассмотрим второй интеграл. Интегрируем по частям (следствие 6.3 ),

при этом обозначим v =

e

−

xt sin(t) dt =

−e−xt

(cos(t) + x sin(t)) è u =

1

,

1 + x2

t

R

A

e−xt

t

dt = −

−

t(1 + x2)

1

A

−

t2(1 + x2)

dt =

Z

− Z

1

sin(t)

e

xt(cos(t) + x sin(t))

A

1

e

xt(cos(t) + x sin(t))

e−

xA

(cos(A) + x sin(A))

x

= −

e− (cos(1) + x sin(1))

−

+

A(1 + x2)

(1 + x2)

−1 + x2

A

−

t2

dt − 1 + x2

A

t2

dt.

Z1

Z1

−

1

e

xt cos(t)

x

e

xt sin(t)

Òàê êàê

−

t2

≤ t2 ,

−

t2

≤ t2

x ≥ 0 (1/t2 интегриру-

åìà íà [1, +

e

xt cos(t)

1

e

xt sin(t)

1

x

0 интегралы

), пример

7.1), то по теореме

7.7

∞

≥

+∞e

−

xt cos(t)

+∞e

−

xt sin(t)

Z1

dt è

Z1

dt

t2

t2

1

+∞e

1

+∞e

−

xt cos(t)

−

xt sin(t)

веденных ранее оценок, в интегралах

Z1

dt

è

Z1

dt

t2

t2

можно переходить к пределу под знаком интеграла при

x → 0. Следова-

1

0

С другой стороны, lim I(x) = lim

π

−

arctg(x)

=

π

. Итак, получи-

+∞

t

= 2

x→0

x→0

2

•

2

ëè, ÷òî Z1

x→+∞ Si( ) =

2

sin(t)

dt

π

, ò. å.

lim

x

π

(ñì. 7.4).

8.2. Гамма-функция

называется гамма-функцией.

: (0, +∞) → R,

(x) =

+∞ x

1 t

dt

R0

t

− e−

Определение 8.2. Функция

1

+∞

÷òî x

0 −

ε > 0. Тогда

t

(0, 1] è

x

◦

(x

) выполнено tx−1e−t

| ≤

Kε

0

|

≤

1

. Функция ϕ(t) =

1

интегрируема на (0, 1] (пример 7.2).

t1−x0+ε

t1−x0+ε

1

tx0−1e−t dt

Следовательно, по теореме 7.9 для любого x0

> 0 интеграл

сходится и по следствию 8.1 функция 1

непрерывна

x0 > 0.R0

Рассмотрим теперь 2. Из формулы Тейлора с остаточным членом в

t

tn

ec

форме Лагранжа для et: et

= 1 +

+ · · · +

+

tn+1,

c

(0, t)

1!

n!

(n + 1)!

следует, что при t ≥ 0,

et

≥

tn

n N. Подберем n так, чтобы n >

,

n!

> x + 1. Тогда, так как t ≥

1, et ≥

tx+1

è e−t

≤

n!

t ≥ 1

n!

tx+1

. Значит, при

n!

n!

справедливо неравенство tx−1e−t ≤

. Функция ϕ(t) =

интегрируема

t2

t2

íà [1, +∞) (пример 7.1). Следовательно, по теореме 7.7 для любого

x > 0

+∞

интеграл

R1

tx−1e−t dt сходится и по следствию 8.1 функция 2 непрерывна

+∞

è 0 (x) =

R0

tx−1e−t ln t dt.

◦

0

ln t

x0 − ε > 0. Ïðè t (0, 1] è x Kε(x0) имеем |fx

(x, t)| ≤ −

= ϕ1(t).

t1−x0+ε

Ïðè t

[1, +∞) имеем |fx0 (x, t)| ≤

n!

ln t

= ϕ2(t). Для доказательства

t2

1

1

tx0−ε ln t

1

1

1

Z

ϕ1(t) dt = − Z

tx0−ε−1 ln t dt = −

0 +

Z

tx0−ε−1 dt =

x0

−

ε

x0

−

ε

0

0

0

1

tx0−ε

1

1

1

−

0

x0

−

ε t→0+0

(x0

−

ε)2

(x0

−

ε)2

(x0

−

ε)2

=

lim (tx0

ε ln t) +

= 0 +

=

+∞

+∞ln t

ln t

+∞

+∞dt

Z

ϕ2(t) dt = Z

dt = −

1

+ Z

=

t2

t

t2

1

1

1

ln t

1

+

∞

1

= − t→+∞ t

− t

lim

= 0 + 1 = 1.

+∞

руемы и 0 (x) =

R0

tx−1e−t ln t dt.

1)

x (0, +∞) (x + 1) = x (x);

2) (1) = 1;

3)

n

n

n

!;

4)

lim

(x) = +

∞

.

N ( + 1) =

x 0+0

→