МА_Метода
.pdfЗамечание 2.5. 1. Для пределов на бесконечности и бесконечных пределов остаются в силе теоремы о пределе суперпозиции.
2. В дальнейшем, если не оговорено пðотивное, будем предполагать,
что если существует lim f(x) = b, òî b R, т. е. предел может быть как
x→a
конечным, так и бесконечным.
3. Если множество X R не ограничено сверху (снизу), то будем считать, что sup X = +∞ inf X = −∞.
2.9. Предел последовательности
Пусть f : N → R, f(n) = yn последовательность. О пределе последовательности можно говорить только в точке +∞ единственной
предельной точке N. Если этот предел существует и конечен, то говорят,
что последовательность сходится. Кроме общего обозначения lim f(n) =
n→+∞
= b используются также обозначения lim yn = b èëè yn → b. По определению предела
lim yn = b ε > 0 δ > 0 : n N, n > δ yn Kε(b) |yn − b| < ε.
ßñíî, ÷òî δ всегда можно выбрать из N.
Для последовательностей рассматриваются и бесконечные пределы, например: lim yn = +∞ ε > 0 δ > 0 : n N, n > δ yn > ε.
Теорема 2.11 (Больцано Коши). Для сходимости последовательности {yn} необходимо и достаточно, чтобы
ε > 0 δ > 0 : n, m N, n > m > δ |yn − ym| < ε.
Доказательство теоремы 2.11 можно найти в [ 6 ] (т. 3.18).
Теорема 2.12 (Гейне). Пусть f : X → R, a предельная точка
X. Тогда для существования предела lim f(x) = b необходимо и достаточ-
x→a
но, чтобы для любой последовательности {xn} X, xn → a, xn 6= a, было выполнено f(xn) → b.
Доказательство теоремы 2.12 можно найти в [ 6 ] (т. 3.19).
Теоремой Гейне удобно пользоваться при доказательстве того, что пре-
äåë lim f(x) = b не существует. Для этого достаточно указать две последо-
x→a
вательности {xn} X, xn → a, xn 6= a è {x0n} X, x0n → a, x0n 6= a такие, что f(xn) è f(x0n) либо не имеют пределов, либо их пределы различны.
Например, покажем, что не существует предел |
lim 21/x. Рассмотрим две |
||||||||||||||
последовательности: xn = 1/n è xn0 = |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
||||||
1/n. Тогда условия xn |
n |
0, xn = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
1/x |
|
|
6 |
|
= 0, |
x0 |
→ |
0, |
x0 |
|
lim |
2 |
= |
lim |
→ |
|||||
= 0 выполнены. Но |
n |
2 |
= + , |
||||||||||||
6 |
n |
|
n |
6 |
n |
→ |
+ |
∞ |
|
|
n |
+ |
|
∞ |
|
lim |
2−1/xn = |
lim |
2−n = 0. |
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
||||
n→+∞ |
|
|
n→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20
2.10. Предел и монотонность
В этом параграфе мы выделим класс функций, для которых сложный вопрос о существовании предела в точке решается относительно легко. Это класс монотонных функций. При изучении пределов монотонных функций
в точке a следует рассмотреть четыре основных случая: функция задана
левее (правее) точки a и не убывает (не возрастает). Сформулируем и докажем теорему для первого случая.
Теорема 2.13. Пусть a = sup(X) предельная точка множества X, a 6 X, функция f : X → R не убывает и ограничена сверху. Тогда
существует и конечен lim f(x) = lim f(x) = sup f(X).
x→a x→a−0
Доказательство. По условию A = sup f(X) < +∞. Пусть сначала a < +∞. Òàê êàê a = sup(X) предельная слева (но не справа) точка
X, то достаточно показать, что |
lim f(x) = A. Äëÿ |
|
ε > 0 A |
− |
ε íå |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a−0 |
|
|
|
|
|
|
||
является верхней границей для |
f(X). Поэтому c X f(c) |
> A − ε. |
|||||||||||||||||||
Положим δ = a |
− |
c > 0. Тогда K−(a) = (c, a). Òàê êàê f не убывает, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
K−(a) |
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
òî |
|
x |
|
∩ |
X верны неравенства A |
− |
ε < f(c) |
≤ |
f(x) |
≤ |
A, ò. å. |
||||||||||
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
| |
f |
x |
) − |
A |
| |
< ε. По определению предела слева имеем lim |
f(x) = A. Äëÿ |
||||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a |
|
0 |
|
|
|
→ −
случая a = +∞ в качестве δ следует взять c, которое можно выбрать
положительным, и далее повторить рассуждение приведенное ранее. Аналогично доказывается следующая теорема.
Теорема 2.14. Пусть a = sup(X) предельная точка множества X, a 6 X, функция f : X → R не возрастает и ограничена снизу. Тогда
существует и конечен lim f(x) = lim f(x) = inf f(X).
x→a x→a−0
Для частного случая X = N получаем следующую теорему.
Теорема 2.15 (Вейерштрасса). Неубывающая (невозрастающая)
ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет конечный предел.
Предложение 2.3. Если f не убывает (не возрастает) на (a, b), то для любого x0 (a, b) существуют f(x0 − 0), f(x0 + 0) è
f(x0 − 0) ≤ f(x0) ≤ f(x0 + 0) (f(x0 − 0) ≥ f(x0) ≥ f(x0 + 0)).
Доказательство. Рассмотрим только первый случай. Функция f íà
(a, x0) ограничена сверху, так как для x (a, x0) |
f(x) |
≤ f(x0). Ïî |
|||||||||||||||||
теореме 2.13 существует f x |
|
lim f(x) = sup f((a, x |
)) |
≤ |
f(x |
). |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
( 0 − 0) = x |
a 0 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
→ − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично доказывается, что существует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f |
( |
x |
0 |
+ 0) = x |
lim |
f(x) = inf f((x |
, b)) |
≥ |
f(x |
). |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
→ |
a+0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
2.11. Число e
Лемма 2.1. Существует и конечен lim 1 + n1 n.
Доказательство. Мы будем пользоваться неравенством Бернулли
t ≥ −1 m N (1 + t)m ≥ 1 + mt,
которое легко доказывается по индукции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Очевидно, yn = 1 + |
|
|
|
> 1. Покажем, что для n > 1 yn−1 ≥ yn. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Имеем |
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n+1 n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
yn−1 |
|
|
n |
|
|
|
1 |
n |
1 |
|
n 1 |
− |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
− n+1 |
= |
|
|
|
|
− |
|
|
|
n+1 |
= |
|
|
|
|
− |
|
n+1 |
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||
|
|
yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
n2 |
|
|
|
n+1 |
n − 1 |
|
= 1 + |
1 |
|
|
|
|
|
n+1 |
n − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
n2 − 1 |
|
|
|
n2 − 1 |
|
|
≥ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
≥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n2 |
|
− 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
n + 1 |
|
n − 1 |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
мы применили неравенство Бернулли с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Здесь |
t = 1/(n − 1) |
m = n + 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
yn−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Èòàê, |
|
|
|
≥ 1 yn−1 ≥ yn. По теореме 2.15 , невозрастающая ограничен- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
yn |
|
ная снизу последовательностьn |
{yn} имеет конечный предел. Следователь- |
|||||||||
но, существует и lim 1 + n |
= lim 1 + 1/n = lim yn. |
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
yn |
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
n |
|||||
Определение 2.13. Числом e называется предел lim 1 + |
|
|
. |
|||||||
n |
Число e вычислено с большой точностью: e = 2.718281828459 . . . . Ïî- y = ex называется экспонентой и имеет специальное
обозначение ex = exp(x).
Теорема 2.16. 1) lim |
|
1 + |
1 |
|
x |
= e. |
2) |
lim (1 + x)1/x = e. |
x |
|
|||||||
x→±∞ |
|
|
|
x→0 |
22
Доказательство. 1. Обозначим через [x] целую часть x, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее x. Тогда для x > 1 имеем:
|
|
[x] ≤ x < [x] + 1 1 + |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
≤ 1 + |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
< 1 + |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[x] + 1 |
x |
[x] |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
[x] |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
[x]+1 |
|
|
||||||||||||
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
1 + |
|
|
|
≤ |
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
[x] + 1 |
|
|
|
x |
[x] |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Òàê êàê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim 1 + |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
è lim 1 + |
|
|
|
|
= e, то по теореме о суперпозиции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
[x] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
[x]+1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e; |
|
|
|
|
lim |
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
= e. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 + [x] + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
[x] |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
По теореме о пределе сжатой функции |
|
|
|
lim |
|
1 + |
1 |
|
|
x |
= e. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Сделав замену x = −y − 1, вычислим предел, используя теорему о |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пределе суперпозиции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
1 + |
1 |
|
|
x |
= lim |
y + 1 |
|
y+1 |
|
|
|
|
lim |
|
1 + |
1 |
|
|
|
|
y |
1 + |
1 |
= e. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x→−∞ |
|
|
|
|
y→+∞ |
|
|
|
|
|
= y→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
y |
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Сделав замену x = 1/y, вычислим предел, используя теорему о |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пределе суперпозиции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (1 + x)1/x = |
lim |
|
|
1 + |
1 |
|
|
|
y = e. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y→+∞ |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Аналогично, |
|
|
lim |
(1 + x)1/x = e. Следовательно, lim (1 + x)1/x = e. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→0−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
Âэтой главе рассмотрим класс функций, для которых сложный вопрос
îсуществовании и вычислении предела в точке решается наиболее просто: он равен значению функции в этой точке.
23
3.1. Определение и свойства непрерывных функций
Определение 3.1. Функция f : X → R называется непрерывной в точке a X, если или a изолированная точка X, или a предельная
точка X и lim f(x) = f(a). Если f непрерывна в каждой точке множе-
x→a
ства X, то f непрерывна на X.
Далее будем считать, что a предельная точка X, так как в изолированной точке любая функция, по определению, непрерывна.
Теорема 3.1. Пусть функции f : X → Y, g : Y → R непрерывны в точках a и f(a), соответственно. Тогда их суперпозиция g◦f непрерывна в точке a.
Доказательство. По определению непрерывности lim f(x) = f(a) è
|
|
|
x→a |
◦ |
|
|
lim |
g(y) = g(f(a)). По теореме 2.3 о пределе суперпозиции lim(g |
f)(x) = |
||
|
→ |
f(a) |
→ |
|
|
y |
|
x a |
|
= (g ◦ f)(a), ò. å. g ◦ f непрерывна в точке a.
Теорема 3.2. Пусть функции f, g : X → R непрерывны в точке a. Тогда f + g, f − g, fg, f/g (при g(a) 6= 0) непрерывны в точке a.
Доказательство. По определению непрерывности lim f(x) = f(a) è
|
|
|
|
|
|
± |
|
|
|
|
|
|
x→a |
± |
|
lim g(x) = g(a). Отсюда lim(f |
g |
)( |
x |
lim f(x) |
lim g(x) = (f |
g)(a). |
|||||||||
x |
→ |
a |
x |
→ |
a |
|
|
) = x |
→ |
a |
± x a |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
Непрерывность fg è f/g проверяется аналогично.
Так как простейшие функции, введенные в школьном курсе, (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические), непрерывны в любой точке своей области определения, то из теорем 3.1 , 3.2 следует, что этим свойством обладают и все элементарные функции.
Наряду с понятием непрерывности дополнительно вводятся понятия непрерывности слева и справа.
Определение 3.2. Функция f : X → R называется непрерывной слева (справа) в точке a X, если или a изолированная точка X, или a предельная слева (справа) точка X и lim f(x) = f(a) ( lim f(x) =
x→a−0 |
x→a+0 |
= f(a)).
Теорема 3.3. Пусть a X предельная слева и справа точка X. Функция f : X → R непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда f непрерывна слева и справа (одновременно) в точке a.
Доказательство. По теореме 2.10 о связи понятий предела и односторонних пределов имеем
lim f(x) = f(a) |
x |
lim |
f(x) = f(a) è |
lim f(x) = f(a). |
|
|
|
||||||
→ |
→ |
− |
|
→ |
|
|
x a |
a |
|
0 |
x a+0 |
|
24
Еще раз напомним, что функция f : X → R непрерывна в точке a предельной для множества X, если выполнены три условия:
1) f определена в a; 2) существует lim f(x); 3) lim f(x) = f(a).
x→a x→a
Определение 3.3. Если в точке a предельной для множества X, нарушено хотя бы одно из условий 1, 2, 3, то a называется точкой разрыва функции f.
Точки разрыва классифицируются следующим образом.
Определение 3.4. Точки разрыва a функции f называются: 1) точ-
кой устранимого разрыва, если существует конечный lim f(x); 2) точкой
x→a
разрыва первого рода, если существуют конечные, но различные lim f(x)
x→a−0
и lim f(x); 3) точкой разрыва второго рода, если она не является точ-
x→a+0
кой разрыва первых двух типов, т. е. если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.
3.2. Функции непрерывные на отрезке
Здесь мы рассмотрим наиболее важные теоремы о функциях, непрерывных на отрезке. Первые две теоремы приводятся без доказательства.
Теорема 3.4 (Вейерштрасса). Пусть f непрерывна на [a, b]. Тогда f ограничена и достигает своих наибольшего и наименьшего значе- ний на [a, b], т. е. существуют точки x1, x2 [a, b] такие, что f(x1) = = sup f(x) наибольшее значение функции, f(x2) = inf f(x) наиме-
x [a,b] |
x [a,b] |
|
|
ньшее значение функции (рис. 3.1). |
|
Доказательство теоремы можно найти в [ 6 ] (т. 4.15). |
||
y . . |
y . . |
y . . |
.. .
f(x1) . . . . . |
|
|
|
. |
|
|
. |
. |
|
. |
|
|
|
|
f(x2) |
. |
|
. |
|
|
|
. . . . . . . .. . . . .. |
|
|
. . |
. . |
...... |
||
0 a x1 |
. |
|
b=x2 x |
Ðèñ. 3.1
f(b) . . . . . ..
|
. |
a . . |
|
... ... |
|
0 . c |
. |
b x |
|
. |
|
f(a) . .
Ðèñ. 3.2
. |
|
|
|
. |
|
. |
|
|
|
||
. |
|
. |
|
C . ... .. |
. |
||
. |
|||
. |
. |
. |
|
|
|||
|
. |
||
. |
. |
||
|
|||
. . . . . . |
|
||
. . |
. . |
||
...... |
|||
0 a c |
. |
||
b x |
Ðèñ. 3.3
Теорема 3.5 (Больцано-Коши). Пусть f непрерывна на [a, b] и на концах промежутка принимает значения разных знаков, т. е. f(a)f(b) < < 0. Тогда существует точка c [a, b] такая, что f(c) = 0 (рис. 3.2).
Доказательство теоремы можно найти в [ 6 ] (т. 4.12).
25
Теорема 3.6. Пусть функция f непрерывна на [a, b] и inf f(x) <
x [a,b]
< C < sup f(x). Тогда существует точка c [a, b] такая, что f(c) = C
x [a,b]
(ñì. ðèñ. 3.3).
Доказательство. По теореме 3.4 x1, x2 [a, b] : f(x1) = sup f(x),
x [a,b]
f(x2) = inf f(x). Предположим, для определенности, что x1 < x2. Ôóíê-
x [a,b]
öèÿ ϕ(x) = f(x) −C непрерывна на [x1, x2] и принимает на концах отрезка значения разных знаков ϕ(x1) = f(x1) − C > 0, ϕ(x2) = f(x2) − C < 0. По теореме 3.5 существует c (x1, x2) (a, b), такая, что ϕ(c) = 0, ò. å. f(c) = C.
Предложение 3.1. Если функция f монотонна на [a, b] и ее значе- ния заполняют некоторый отрезок, то f непрерывна на [a, b].
Доказательство. Пусть, например, f неубывающая функция. Покажем, что f непрерывна слева в любой точке x (a, b]. Допустим против-
ное. Тогда по предложению 2.3 |
f(x0 − 0) < f(x0). Òàê êàê f(x0 − 0) = |
= sup f(x) (теорема 2.13 ), то |
x [a, x0) f(x) ≤ f(x0 − 0). Òàê êàê |
x [a,x0) |
f(x) ≥ f(x0) > f(x0 − 0). Следователь- |
f не убывает, то x [x0, b] |
|
íî x [a, b] f(x) 6(f(x0 − 0), f(x0)), что противоречит условию, что |
f([a, b]) есть отрезок. Значит f(x0 − 0) = f(x0). Аналогично доказывается непрерывность справа. Следовательно, по теореме 2.3 f непрерывна на
[a, b].
Следствие 3.1. Если функция f непрерывна и строго монотонна на [a, b], то обратная функция f−1 также непрерывна на f([a, b]).
Доказательство. Существование и строгая монотонность f−1 íà f([a, b]) были доказаны в теореме 1.2 . Из теорем 3.4 и 3.6 следует, что
f([a, b]) = [ inf |
f(x), sup f(x)]. Для завершения доказательства остается |
x [a,b] |
x [a,b] |
применить предложение 3.1 .
3.3.Нахождение корня уравнения методом половинного деления
Пусть функция f непрерывна на [a, b] è f(a)f(b) < 0. По теореме Больцано-Коши на [a, b] лежит корень (может быть не единственный) урав-
нения f(x) = 0. Разделим [a, b] пополам. Если f |
a + b |
= 0, òî |
a + b |
||
|
2 |
2 |
|||
|
|
26
корень. Иначе, обозначим через тот из отрезков и [(a + b)/2, b], на концах которого функция f принимает значения разных
знаков. По построению b1 − a1 |
= |
b − a |
. К промежутку [a1, b1] применим |
|
2 |
||||
описанный процесс деления пополам. Если на некотором этапе |
||||
|
an + bn |
|
||
f |
2 |
= 0, |
||
|
|
|
òî |
|
an + bn |
корень. В противном случае процесс продолжается до тех пор, |
||||||||||
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b − a |
|
|
|an + bn| |
|
|||
пока не будет выполнено неравенство b |
n − |
a |
n |
= |
≤ |
ε |
, ãäå ε |
||||||
2n |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
заданная относительная погрешность. В качестве приближенного значения
корня обычно берут |
an + bn |
середину последнего отрезка. |
|
2 |
|||
|
|
4. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ
4.1.Дифференцируемость функций. Производная. Касательная
Пусть x0 X предельная точка множества X, f : X → R. Напомним (см. определение 2.5 ), что символом o(x−x0) обозначается любая функция, являющаяся бесконечно малой более высокого порядка, чем x − x0 ïðè
x → x0, ò. å. lim o(x − x0) = 0.
x→x0 x − x0
Определение 4.1. Функция f дифференцируема в точке x0, åñëè ñó- ществует A R такое, что f(x) = f(x0)+A(x−x0)+o(x−x0). Функция A(x − x0) называется дифференциалом функции f и обозначается dx0 f.
По определению функция f дифференцируема в x0, если она отличает- ся от некоторого многочлена первой степени f(x0)+A(x−x0) на бесконечно
малую более высокого порядка, чем x − x0 ïðè x → x0.
Функция f : R \ {0} → R, f(x) = x1 дифференируема
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в любой точке x0 6= 0, òàê êàê |
|
|
|
= |
|
|
|
− |
|
(x − x0) + o(x − x0) (здесь |
||||||||||||||||
x |
x0 |
x02 |
||||||||||||||||||||||||
A = |
|
1 |
. В самом деле, |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
(x |
|
|
x0) |
= |
(x − x0)2 |
= o(x |
|
x0) |
||||||||
−x02 |
x − x0 |
|
|
|
− |
|
|
− |
||||||||||||||||||
ïðè |
. |
• |
− x02 |
|
|
|
xx02 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x → x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) − f(x0) |
|
||||||
|
Определение 4.2. Если существует и конечен |
lim |
, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
x − x0 |
|
|
27
то он называется производной функции f в точке x0 и обозначается f0(x0).
Предложение 4.1. Если f дифференцируема в точке x0, ò. å. ïðåä-
ставима в виде f(x) = f(x0) + A(x − x0) + o(x − x0), то существует f0(x0) = A.
Доказательство. Так как существует предел
lim |
f(x) − f(x0) |
= lim |
A(x − x0) + o(x − x0) |
= A + lim |
o(x − x0) |
= A, |
x − x0 |
x − x0 |
|
||||
x→x0 |
x→x0 |
x→x0 |
x − x0 |
то существует и производная f0(x0) и она равна A.
Пример 4.1 показывает, что для функции f(x) = 1/x производная в любой точке x0 6= 0 равна f0(x0) = −1/x20.
Предложение 4.2. Если существует f0(x0), то f дифференцируема в точке x0 и верно равенство
f(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) + o(x − x0) (формула Тейлора первого порядка для функции f в точке x0).
Доказательство. Из определения 4.2 производной следует, что
α(x) = f(x) − f(x0) − f0(x0) x − x0
есть бесконечно малая при x → x0. Отсюда находим
f(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) + α(x)(x − x0).
Òàê êàê lim α(x) = 0, òî α(x)(x − x0) = o(x − x0). Поэтому
x→x0
f(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) + o(x − x0).
Замечание 4.1. Из равенства x = x0 + (x−x0) + 0 следует, что x0 = 1
è dx0 x = x − x0, а потому dx0 f = f0(x0)dx0 x èëè df = f0dx. Рассмотрим прямые y = f(x0) + A(x − x0), проходящие через точку
M0(x0; f(x0)) графика функции f.
Определение 4.3. Прямая y = f(x0) + A(x − x0) называется касательной к графику функции f в точке x0, åñëè
f(x) − y = f(x) − (f(x0) + A(x − x0)) = o(x − x0).
28
Сравнивая данное определение с
определением 4.1 , видим, что каса- |
y . . |
|
|
|
|
|
. M . |
|
|
тельная к графику функции f â òî÷- |
|
|
|
|
f(xM) . .. . . . . . |
|
|||
êå x0 существует тогда и только тогда, |
|
M0 |
.. |
y = f(x) |
когда f дифференцируема в точке x0. |
f(x0) |
|
|
|
. .. . . |
. |
|
||
|
|
|
||
Из предложения 4.1 следует, что урав- |
|
. |
. |
|
|
. |
. |
|
|
нение касательной имеет вид (рис. 4.1) |
|
. |
. |
|
|
. β |
. . |
. |
|
y = f(x0) + f0(x0)(x − x0). |
α . |
. . |
||
0 |
x0 |
xM |
.x |
|
|
. ....... |
|||
Производная f0(x0) есть угловой коэф- |
|
Ðèñ. 4.1 |
|
фициент касательной к графику функции f в точке x0. Поэтому f0(x0) = = tg α, ãäå α угол наклона касательной к оси Ox.
Для любой прямой y = f(x0) + B(x − x0), не совпадающей с касательной, имеем f(x)−y = f(x)− f(x0)+B(x−x0) 6= o(x−x0). В этом смысле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
другой прямой к графику |
f в точке x0. |
|
||||||||||||||
касательная ½ближе“ любой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Рассмотрим на графике функции f точку M(xM ; f(xM )) (ðèñ. 4.1). |
|||||||||||||||||||||||||
Уравнение секущей (M |
|
M) имеет вид y = |
f(xM ) − f(x0) |
(x |
− |
x |
) + f(x |
). |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
xM − x0 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|||
Ïðè x |
M |
→ |
x |
0 |
угловой коэффициент tg β = |
f(xM ) − f(x0) |
секущей стре- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xM − x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
мится к f0(x0) = tg α угловому коэффициенту касательной. В этом смыс- |
|||||||||||||||||||||||||
ле говорят, что ½касательная есть предельное положение секущей “. |
|
||||||||||||||||||||||||
Предложение 4.3. Если функция f дифференцируема в точке x0, |
|||||||||||||||||||||||||
то f непрерывна в точке x0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Доказательство. Òàê êàê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
lim f(x) = f(x |
) + lim A(x |
− |
x |
) + lim o(x |
− |
x |
) = f(x |
|
), |
|
||||||||||||||
|
x |
→ |
x0 |
|
|
0 |
|
x |
→ |
x0 |
0 |
|
x x0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то функция f непрерывна в точке x0.
4.2.Дифференцируемость суперпозиции функций и обратной функции
Теорема 4.1 Пусть f : X → Y , g : Y → R. Если функции f и g
дифференцируемы в точках x0 X è y0 = f(x0) Y соответственно, то их суперпозиция g ◦ f : X → R дифференцируема в точке x0 è
(g ◦ f)0(x0) = g0(f(x0))f0(x0).
Доказательство. По условию g(y) = g(y0) + g0(y0)(y −y0) + o(y −y0).
Рассмотрим функцию β : Y → R, β(y) = o(y − y0), åñëè y 6= y0 è β(y0) = 0.
(y − y0)
29