МА_Метода

Возьмем δ = min{δ1, δ2}, тогда Π c d(Π) < δ выполнено

a

Доказательство. 1) По теоремам 6.5 , 6.3 и предложению 6.1 , имеем

2) аналогично; 3) следует из 1)и 2).

Следствие 6.2. Если функции f и |f| интегрируемы на [ a, b ] , то

ZZ

50

Доказательство. Как известно, x [ a, b ] имеет место неравенство −|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)|. Тогда по теоремам 6.5 и 6.3

b

и, так как по следствию 6.1 R |f(x)| dx ≥ 0, òî

a

ZZ

a a

Теорема 6.6 (о cреднем для интеграла ). Если функция f непре-

Доказательство. По теореме Вейерштрасса 3.4 функция f ограничена на [ a, b ], это означает что x [ a, b ] m ≤ f(x) ≤ M, где m наименьшее значение функции f, а M наибольшее значение f. По следствию 6.1

RR R

полагаем f(x) dx = − f(x) dx, f(x) dx = 0.

b a a

Замечание 6.1. Для интегралов от b до a остаются справедливыми предложение 6.1 и теоремы 6.3, 6.6. Из теоремы 6.4 следует, что при любом

51

Пусть, например, α < β < γ, тогда по теореме 6.4 и определению 6.5 имеем

6.3.Интеграл с переменным верхним пределом. Первообразная

Определение 6.6. Пусть функция f кусочно-непрерывна на [ a, b ].

x

R

Функция F : [ a, b ] → R, F (x) = f(t) dt называется интегралом с пере-

a

менным верхним пределом.

Теорема 6.7. Функция F непрерывна на [ a, b ].

Доказательство. Пусть x0 [ a, b ] тогда по определению 6.5 и заме- чанию 6.1

Пусть M = sup |f(x)|, тогда по следствиям 6.1 и 6.2 при x > x0

x [a,b]

ZZ

52

Теорема 6.8 (Барроу). Пусть x0 точка непрерывности функции f, тогда F 0 (x0) = f(x0), ò. å.

x 0

Z

f(t) dt (x0) = f(x0).

a

Доказательство. Òàê êàê f кусочно-непрерывна и x0 точка непре- рывности функции f, то можно выбрать ε > 0 так, что на интервале (x0− −ε, x0 + ε) функция f будет непрерывна. Возьмем произвольное x (x0− −ε, x0 + ε) . По теореме 6.6

x

Z

F (x) − F (x0) = f(t)dt = f(c)(x − x0),

x0

ãäå c лежит между x0 è x. По теореме о пределе сжатой функции 2.8 c → x0 ïðè x → x0 и, следовательно,

Значит F 0 (x0) = f(x0).

Замечание 6.2. Через ha, bi будем обозначать промежуток, когда он может быть и открытым и замкнутым, при этом a может равняться −∞, а b может равняться +∞.

Определение 6.7. Пусть функция f кусочно-непрерывна на ha, bi. Всякая непрерывная на ha, bi функция G такая, что G0 (x) = f(x) â êàæ-

дой точке непрерывности функции f, называется первообразной к функции f на ha, bi.

Теорема 6.9. Если функция f кусочно-непрерывна на [ a, b ], то она имеет на [ a, b ] первообразную.

Теорема 6.10. Пусть функции Φ и G первообразные к непрерывным на ha, bi функциям f и g, α, β-постоянные. Тогда функция αΦ + βGпервообразная к функции αf + βg на ha, bi.

Доказательство. Функция αΦ+βG непрерывна как линейная комбинация непрерывных функций, и для любого x ha, bi выполнено

(αΦ + βG)0 (x) = αΦ0 (x) + βG0 (x) = αf(x) + βg(x) = (αf + βg) (x).

53

Теорема 6.11. Пусть функция Φ первообразная к f на ha, bi. Тогда: 1). C R функция Φ + C есть первообразная к f на ha, bi.

2). Если G тоже первообразная к f на ha, bi, то C R такая, что G = Φ + C.

Доказательство. 1). Очевидно что Φ + C непрерывна на ha, bi и в точках непрерывности функции f выполнено равенство (Φ + C)0 (x) = = Φ0 (x) + (C)0 = f(x) + 0 = f(x). Следовательно,

f íà ha, bi.

2). Функция G − Φ непрерывна на ha, bi, как разность непрерывных

функций. В каждой точке непрерывности функции f выполнено (G− −Φ)0 (x) = G0 (x) − Φ0 (x) = f(x) − f(x) = 0. Следовательно, точки разрыва

функции f разбивают ha, bi на интервалы, на каждом из которых G − Φ постоянна и так как G − Φ непрерывна на ha, bi, то она постоянна на всем промежутке ha, bi, ò. å. C R такое, что G − Φ = C èëè G = Φ + C íà ha, bi.

Замечание 6.3. Множество первообразных функций к f íà ha, bi принято называть неопределенным интегралом от функции f и обозначать

RR

f(x) dx. Èòàê, f(x) dx = G(x) + C, ãäå G некоторая первообразная к f íà ha, bi, C R (произвольная постоянная).

6.4. Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 6.12 (Ньютона-Лейбница). Пусть G некоторая первообразная на отрезке [ a, b ] к кусочно-непрерывной функции f, тогда

Замечание 6.4. Удобно писать G(b) − G(a) = G(x) .

a

Определение 6.8. Функция f называется непрерывно дифференци-

руемой на множестве X, если она дифференцируема в каждой точке X и функция f 0 непрерывна на X.

54

Следствие 6.3 (формула интегрирования по частям). Если функции u и v непрерывно дифференцируемы на [ a, b ], то справедливо

равенство

Доказательство. Как известно, (uv)0 (x) = u0 (x)v(x) + u(x)v0 (x). Âñå

входящие в это равенство функции непрерывны, а значит, и интегрируемы на [ a, b ]. Функция uv первообразная к (uv)0 íà [a, b]. Тогда по теоремам

6.12 è 6.3

Следствие 6.4 (формула замены переменной в интеграле).

Пусть f непрерывная функция на [ a, b ], а функция ϕ : [ α, β ] → [ a, b ] непрерывно дифференцируема и ϕ(α) = a, ϕ(β) = b (или наоборот ϕ(α) = = b, ϕ(β) = a ). Тогда

ZZ

f(x) dx = f (ϕ(t)) ϕ0 (t)dt

aβ

Доказательство. Пусть G первообразная к f на [ a, b ] и ϕ(α) = a, ϕ(β) = b. Тогда функция G ◦ ϕ есть первообразная к (f ◦ ϕ) ϕ0 íà [ α, β ].

По формуле Ньютона-Лейбница (теорема 6.12 ) имеем

55

6.5.Геометрические приложения определенного интеграла

I. Площадь криволинейной трапеции. Пусть f функция, непре-

рывная на [ a, b ]. Фигуру на плоско-

строим разбиение с отмеченными точками Πξ. Рассмотрим прямоугольники с основаниями [xk, xk+1] и высотами f(ξk), k = 0, 1, ..., n − 1. Площади этих прямоугольников равны f(ξk)Δxk, а сумма их площадей равна

n−1

X

f(ξk)Δxk.

k=0

По определению площадью криволинейной трапеции указанного типа будем считать такое число S, ÷òî ε > 0 δ > 0 такое, что Π c d(Π) < δ

справедливо неравенство

a

Площадь криволинейного сектора.

ниченную кривой, заданной в полярных координатах уравнением r = f(ϕ) (функция f непрерывна на [α, β]) и лучами ϕ = α, ϕ = β. Такую фигуру называют криволинейным сектором (рис. 6.2). Построим разбиение Π отрезка [α, β]: α = ϕ0 < ϕ1 < ... < ϕn−1 < ϕn = β. Рассмотрим разбиение

56

По определению площадью криволинейного сектора будем считать та-

1f2(ωk)Δϕk − S < ε.

2X

через точку (ϕ(τk), psi(τk), γ(τk)) касательную к кривой. Параметрическое уравнение касательной

ты концов этого отрезка равны

57

Тогда длина этого отрезка касательной равна

q

(x(tk+1) − x(tk))2 + (y(tk+1) − y(tk))2 + (z(tk+1) − z(tk))2 =

q

=(ϕ0 (τk)(tk+1 − tk))2 + (ψ0 (τk)(tk+1 − tk))2 + (γ0 (τk)(tk+1 − tk))2 =

q

= (ϕ0 (τk))2 + (ψ0 (τk))2 + (γ0 (τk))2 tk.

По определению число L считается длиной кривой, если ε > 0 δ > 0 такое, что Π c d(Π) < δ справедливо неравенство

β

Z

q

L = (ϕ0 (t))2 + (ψ0 (t))2 + (γ0 (t))2 dt.

α

IV. Объем тела вращения. Пусть криволинейная трапеция, определенная в п. I, вращается вокруг оси абсцисс. Полученное тело назы-

вается телом вращения. Построим разбиение Π отрезка [ a, b ]: a = x0 < < x1 < ... < xn−1 < xn = b и разбиение Πξ с отмеченными точками ξk[ xk, xk+1 ], k = 0, 1, ..., n − 1. Рассмотрим прямые круговые цилиндры с

высотами [ xk, xk+1 ], в основаниях которых лежат круги с радиусами f(ξk). Объем такого цилиндра равен πf2(ξk)Δxk.

По определению объемом тела вращения будем считать такое число

b

кому же условию удовлетворяет интеграл R πf2(x) dx. Тогда по теореме

a

58

b

6.2 V = π R f2(x) dx.

a

6.6. Приближенное вычисление интегралов

Если функция f непрерывна на отрезке [ a, b ] и известна ее первообразная F (x), то интеграл от этой функции может быть вычислен по формуле

b

Ньютона-Лейбница R f(x) dx = F (b) − F (a), ãäå F 0 (x) = f(x) (см. теорему

a

6.12 ).

Однако, во многих случаях первообразная функция не может быть найдена в виде элементарной функции (например, см. п. 7.4 далее). Поэто-

Определение 6.9. Пусть U некоторое множество интегрируемых на [ a, b ] функций. Квадратурной формулой на множестве U назы-

зываются узлами, а ck коэффициентами квадратурной формулы. При этом ε > 0 и любой функции f U найдется N N такое, что для

любых n > N выполнено

Сначала построим простейшие квадратурные формулы, исходя из определения интеграла.

Рассмотрим разбиение Π : a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b отрезка

По определению интеграла ε > 0 δ > 0 такое, что как только h < < δ (или, что то же самое, как только n > (b − a)/δ), так |SΠξ (f) − J| <

59