МА_Метода

Тогда lim β(y) = β(y0) = 0 è

y→y0

g(y) = g(y0) + g0(y0)(y − y0) + β(y)(y − y0).

Заменяя в последнем равенстве y = f(x), y0 = f(x0),

y − y0 = f(x) − f(x0) = f0(x0)(x − x0) + o(x − x0),

получим

g(f(x)) = g(f(x0)) + g0(f(x0))f0(x0)(x − x0) + α(x),

ãäå α(x) = g0(f(x0))o(x − x0) + β(f(x))(f(x) − f(x0)). Остается показать,

÷òî α(x) = o(x − x0). Òàê êàê lim β(f(x)) = β(f(x0)) = β(y0) = 0, òî

x→x0

Èòàê, g(f(x)) = g(f(x0)) + g0(f(x0))f0(x0)(x − x0) + o(x − x0) или, что то же самое, (g ◦f)(x0) = (g ◦f)(x0) + g0(f(x0))f0(x0)(x−x0) + o(x−x0). Ïî

существует (f−1)0(y0) = (f0(x0))−1.

30

4.3. Правила вычисления производных

Теорема 4.3. Если функции f, g : X → R дифференцируемы в точке x0 X и c R, то функции cf, f ± g, fg, 1/g и f/g (при g(x0) 6= 0) дифференцируемы в точке x0

1)(cf)0(x0) = cf0(x0);

2)(f ± g)0(x0) = f0(x0) ± g0(x0);

3)(fg)0(x0) = f0(x0)g(x0) + f(x0)g0(x0);

Доказательство. По условию теоремы

(

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) + o(x − x0), g(x) = g(x0) + g0(x0)(x − x0) + o(x − x0).

31

1. Умножая f íà c, получим:

cf(x) = cf(x0) + cf0(x0)(x − x0) + c · o(x − x0).

c o(x − x0) = o(x − x0), òî (cf)(x) = (cf)(x0) + cf0(x0)(x − x0)+ +o(x − x0), ò. å. cf дифференцируема в точке x0 è (cf)0(x0) = cf0(x0).

êàê

−x0) ± o(x − x0) = o(x − x0), òî

(f ± g)(x) = (f ± g)(x0) + f0(x0) ± g0(x0) (x − x0) + o(x − x0),

ò.å. f ± g дифференцируема в x0 è (f ± g)0(x0) = f0(x0) ± g0(x0).

3.Умножая f íà g, получим:

f(x)g(x) = f(x0)g(x0) + f0(x0)g(x0) + f(x0)g0(x0) (x − x0) + α(x),

ãäå

α(x) = f(x0)o(x − x0) + g(x0)o(x − x0) + f0(x0)g0(x0)(x − x0)2+

+f0(x0)(x − x0)o(x − x0) + g0(x0)(x − x0)o(x − x0) + o(x − x0)o(x − x0).

Так как из правил 1 3 действий с асимптотическими оценками α(x) = = o(x − x0), òî

(fg)(x) = (fg)(x0) + f0(x0)g(x0) + f(x0)g0(x0) (x − x0) + o(x − x0),

ò.å. fg дифференцируема в x0 è (fg)0(x0) = f0(x0)g(x0) + f(x0)g0(x0).

4.Òàê êàê äëÿ h(x) = 1/x, h0(x) = −1/x2 ïðè x 6= 0 (см. пример 4.1),

то по теореме 4.1 имеем:

По предложению 4.2 функция 1/g дифференцируема x0.

5. Применяя правила вычисления производных 3 и 4, имеем

Из предложения 4.2 следует, что f/g дифференцируема в x0. Напомним производные простейших функций. Для всех x из области

определения:

32

4.4. Понятие экстремума функции. Теорема Ферма

Определение 4.4. Пусть f : X → R, x0 X. Говорят, что функ-

ция f в точке x0 достигает: 1) максимума (минимума), если x0 ïðå-

◦

дельная точка X, и существует ε > 0 такое, что для любого x Kε (x0)∩ ∩X выполнено f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)); 2) экстремума, если f в точке x0 достигает максимума или минимума; 3) наибольшего (наименьшего) значения, если для любого x X f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)). Точки, в которых f достигает максимума (минимума, экстремума) называются

точками максимума (минимума, экстремума) функции f.

Пример 4.3. Функция f : [−1; 2) → R, f(x) = x2 достигает максиму- ма в точке x = −1; достигает минимума и наименьшего значения в точке x = 0. Наибольшего значения функция f не достигает. •

Теорема 4.4 (Ферма). Пусть f : X → R, x0 X. Åñëè x0 предель-

ная слева и справа точка X; существует ε > 0 такое, что для любого

◦

x Kε (x0) ∩ X выполнено f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)), и существует f0(x0), òî f0(x0) = 0.

Доказательство. Òàê êàê äëÿ x (x0 − ε; x0) ∩ X по условию

f(x) − f(x0) ≥ 0 (≤ 0), x − x0

то по теореме 2.7 о предельном переходе в неравенстве получаем

33

Следствие 4.1. Если в точке x0, предельной слева и справа для множества X, функция f достигает максимума (минимума, наибольшего или наименьшего значения) и существует f0(x0), òî f0(x0) = 0.

4.5. Теоремы о среднем (Ролля, Коши, Лагранжа)

Теорема 4.5 (Ролля). Пусть функция f : [ a, b ] → R непрерывна на [ a, b ] и дифференцируема в любой точке из (a, b). Если f(a) = f(b), то

венно наибольшее и наименьшее значения функции f íà [ a, b ]. По теореме

3.4 существуют x1, x2 [ a, b ]: f(x1) = M, f(x2) = m. Åñëè M = m, то функция f постоянна на [ a, b ], а потому x0 (a, b) f0(x0) = 0. Пусть

M > m. Òàê êàê f(a) = f(b), то хотя бы одна из точек, x1 èëè x2, ïðè-

надлежит (a, b). Обозначим ее x0. Тогда в точке x0 функция f достигает

наибольшего или наименьшего значения, и по следствию 4.1 из теоремы Ферма f0(x0) = 0.

Теорема 4.6 (Коши). Пусть функции f, g : [ a, b ] → R непрерывны на [ a, b ] и дифференцируемы в любой точке из (a; b). Если x (a; b)

Доказательство. Отметим сразу, что g(a) 6= g(b), так как иначе по теореме Ролля x0 (a, b) g0(x0) = 0, что противоречит условию.

Рассмотрим функцию F : [ a, b ] → R, F (x) = f(x) − kg(x), k R. Она непрерывна на [ a, b ] как разность двух непрерывных на [ a, b ] функций и дифференцируема на (a, b) по тем же соображениям. Подберем число k так, чтобы F (a) = F (b), ò.å. f(a) − kg(a) = f(b) − kg(b). Отсюда находим

k = f(b) − f(a). Функция F удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. g(b) − g(a)

Поэтому x0 (a, b) F 0(x0) = f0(x0) −kg0(x0) = 0. Отсюда получаем, что

k= f0(x0) = f(b) − f(a). g0(x0) g(b) − g(a)

Теорема 4.7 (Лагранжа). Пусть функция f : [ a, b ] → R непрерывна на [ a, b ] и дифференцируема в любой точке из (a, b). Тогда существует точка x0 (a, b) такая, что

f(b) − f(a) = f0(x0)(b − a)

34

(формула Лагранжа).

4.6. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей

Правило Лопиталя показывает, как используются производные при вычислении пределов, представляющих собой неопределенность типа 0/0

èëè ∞/∞.

Доказательство. Доопределим f и g в точке x0, полагая f(x0) = = g(x0) = 0. Тогда в силу условия 1) f и g станут непрерывными в точке

g удовлетворяют всем условиям теоремы Коши на отрезке [ x0, b ]. Поэтому

35

x0 6= a, òî lim f(x) = K. Поэтому по теореме о связи предела и одно-

x→x0−0 g(x)

сторонних пределов существует lim f(x) = K.

x→x0 g(x)

Замечание 4.3. 1. Теорему 4.8 можно кратко записать так:

Это равенство принято называть правилом Лопиталя раскрытия неопределенностей типа 0/0.

4.7.Формула Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано

Определение 4.5. Пусть f : X → R, x0 X предельная точка X. Говорят, что функция f n раз дифференцируема в точке x0, åñëè существуют постоянные A1, . . . , An R такие, что

n

X

f(x) = f(x0) + Ak(x − x0)k + o((x − x0)n).

k=1

36

По определению функция f n раз дифференцируема в точке x0, åñëè

n

она отличается от некоторого многочлена n-й степени f(x0)+ P Ak(x−x0)k

k=1

на бесконечно малую более высокого порядка, чем (x − x0)n ïðè x → x0. Пусть в некоторой окрестности x0 существует f0(x). Если у функции f0

существует производная в точке x0, то она называется второй производной функции f в точке x0 и обозначается f00(x0) èëè f(2)(x0). Аналогично, пусть в некоторой окрестности x0 существует f(n−1)(x). Если у функции f(n−1)

существует производная в точке x0, то она называется n-й производной функции f в точке x0 и обозначается

Теорема 4.9 Если у функции f существует f(n)(x0), то f n раз дифференцируема в точке x0 и имеет место равенство

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) + · · · + f(n)(x0)(x − x0)n + o((x − x0)n) 1! n!

(формула Тейлора n-го порядка для функции f в точке x0 с остаточным членом в форме Пеано).

Доказательство. Вычислим, используя n −1 раз правило Лопиталя, следующий предел: