Добавил:

LuCalm Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический анализ

Файл:

МА_Метода

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.07.2019

Размер:

637.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1111

Действительно, по формуле суммы бесконечно убывающей геометри-

+∞

ческой прогрессии для |x|

< 1 имеем

(−1)nxn. Интегрируя

1 + x

n=0

+∞

почленно это равенство, получим ln(1 + x) = Z

(−1)n+1

= n=1

1 + t

+∞

Аналогично, для |x| < 1

(−1)nx2n. Интегрируя почленно

1 + x2

n=0

+∞

x2n+1

это равенство, получим arctg(x) = Z

= n=0(−1)n

. •

1 + t2

2n + 1

Многократно применяя теорему 11.3 , получим

S(x) = a0+a1x+a2x2+· · ·+anxn+· · · ; S0(x) = a1+2a2x+· · ·+nanxn−1+· · · ;

S00(x) = 2a2+· · ·+n(n−1)anxn−2+· · · ; . . . ; S(n)(x) = n(n−1) · · · 2·1an+· · · .

Отсюда S(0) = a0, S0(0) = a1,

S00(0) = 2a2,. . . ,

S(n)(0) = n!an,. . . .

Поэтому в интервале сходимости |x| < Rcx

S(x) =

+∞ S(n)(0)

n. Àíà-

+∞

S(n)(x0)

логично, если сумма ряда

an(x − x0)n равна S(x), òî an

+∞ S(n)(x0)

Поэтому в интервале |x − x0| < Rcx имеем S(x) = n=0

(x − x0)

Такая форма записи степенного ряда

называется рядом Тейлора по

степеням x − x0 суммы степенного ряда S.

11.4. Ряд Тейлора

Пусть функция f : X → R имеет производные всех порядков (бес-

конечно			(n)				x0 X. Тогда можно составить сте-
	дифференцируема) в точке
		+∞ f		(x0)		n, называемый рядом Тейлора по степеням
пенной ряд n=0						(x − x0)
пенной ряд n=0			n!			(x − x0)
x − x0 äëÿ		P			f. Укажем условия, при которых функция совпадает
		функции

с суммой своего ряда Тейлора.

Теорема 11.4. Пусть функция f : (a, b) → R бесконечно дифференцируема на (a, b) и все ее производные ограничены в совокупности на (a, b),

Тогда

+∞ f(n)(x0)

f(n)(x)

≤

ò. å. M > 0

такое, что

(a, b) и n N выполнено

x, x0 (a, b) f(x) =

(x − x0) .

100

Доказательство. Положим q = |x − x0|. По теореме 4.10 между x è x0 существует c такое, что

f(k) x

− x0)k =

f(n+1)(c)

≤

Mqn+1

f(x) − k=0

k(! 0)(x

(n + 1)! (x − x0)n+1

(n + 1)!.

n+1

∞

Покажем,

÷òî lim

= 0. В самом деле, ряд

сходится

(n + 1)!

по признаку Даламбера, а потому общий член ряда

nPqn+1

стремится к

(n + 1)!

íóëþ.

Предложение 11.2. Для любого x R справедливы равенства

+∞ xn

+∞

n x2n

+∞

n x2n+1

;

cos(x) =

(−1)

; sin(x) =

(−1)

(2n)!

(2n + 1)!

n=0

Доказательство. Введем обозначения: f(x) = ex, g(x) = cos(x),

h(x) = sin(x). Непосредственно проверяется, что

f(n)(x) = ex, g(n)(x) =

= cos

x + πn2

, h(n)(x) = sin

x + πn2

. Возьмем любой интервал

(a, b), ñî-

держащий точки

è . Òàê êàê

(n)

(x)

e ,

g (x)

1, h (x)

| ≤

для любого x (a, b) и любого n N, то по теореме 11.4

f, g и h равны

сумме своих рядов Тейлора.

+∞ xn

(n)

+∞ f(n)(0)

Òàê êàê f

(0) = 1

N, òî f(x) = n=0

. Òàê

n=0

P +

(2n)

(2n+1)

∞

n x

2nX

. Òàê êàê

êàê g

(0) = (−1)

, à g

(0) = 0, òî g(x) =

(−1)

(2n)!

+∞

nP x2n+1

h(2n+1)(0) = (−1)n, à h(2n)(0) = 0, òî h(x) =

(−1)n

(2n + 1)!

Список литературы

1.Бондарев А. С., Доценко М. Л., Фролова Е. В. Математический анализ (функции одной вещественной переменной): Учеб. пособие. / Под ред.

À.Л. Белопольского; СПбГЭТУ. СПб., 1998.

2.Математический анализ в электронике и автоматике: Учеб. пособие. / А. С. Бондарев, Т. Д. Дончев, М. Л. Доценко и др. Под ред. А. И. Кошелева; ЛЭТИ. Л., 1983.

3.Приложение интегрального исчисления и дифференциальных уравнений в задачах электроники и автоматики: Учеб. пособие. / А. С. Бондарев, Т. Д. Дончев, М. Л. Доценко и др. Под ред. А. И. Кошелева; ЛЭТИ. Л., 1984.

4.Берс Л. Математический анализ: Учеб. пособие. В 2 т. М.: Высш. шк., 1975.

101

5.Шилов Г. Е. Математический анализ (функции одной вещественной переменной): Учеб. пособие. Ч. 1-2. М.: Наука, 1969.

6.Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс. М.: Изд. МГУ, 1987.

7.Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Продолжение курса. М.: Изд. МГУ, 1987.

8.Зорич В. А. Математический анализ. Ч. 1. М.: Наука, 1981.

9.Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица

èИ. Стиган. М.: Наука, 1979.

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.1. Логическая символика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Понятие множества. Действия над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Границы числовых множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.4. Функция. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5. Обратная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 2.1. Окрестность точки. Предельные точки множества. . . . . . . . . . . . . . .8 2.2. Определение предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3. Предел суперпозиции функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4. Арифметические свойства предела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2.5. Общие свойства пределов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6. Понятие асимтотических оценок. Символы o, , O . . . . . . . . . . . . 15

2.7. Односторонние пределы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 2.8. Бесконечные пределы и пределы на бесконечности . . . . . . . . . . . . . 18 2.9. Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.10. Предел и монотонность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.11. Число e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1. Определение и свойства непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2. Функции непрерывные на отрезке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3. Нахождение корня уравнения метолом половинного деления. . .26 4. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 4.1. Дифференцируемость функций. Производная. Касательная . . . 27

4.2. Дифференцируемость суперпозиции функций и обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3. Правила вычисления производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.4. Понятие экстремума функции. Теорема Ферма . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.5. Теоремы о среднем (Ролля, Коши, Лагранжа) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.6. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей . . . . . . . . . . . . . . 35

102

4.7. Формула Тейлора n-го порядка с остаточным членом

в форме Пеано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.7. Формула Тейлора n-го порядка с остаточным членом

в форме Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРННЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ . . . . . . 40

5.1. Монотонность функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2.Необходимые и достаточные условия экстремума

функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.3. Выпуклость функции. Точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.4. Асимптоты графика функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 5.5. Метод Ньютона нахождения корня уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.1. Определение. Существование и единственность. . . . . . . . . . . . . . . . .47 6.2. Свойства определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.3. Интеграл с переменным верхним пределом. Первообразная . . . . 52 6.4. Формула Ньютона-Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.5. Геометрические приложения определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.7. Приближенное вычисление интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 7.1. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку . . . . . . . . 62 7.2. Несобственный интеграл по конечному промежутку. . . . . . . . . . . .66 7.3. Признаки сходимости несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.4. Функции erf(x), Si(x), Ci(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8. ИНТЕГРАЛЫ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 8.1. Определение. Свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 8.2. Гамма-функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 9. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 9.1. Функция оригинал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 9.2. Преобразование Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 9.3. Теоремы линейности, запаздывания и смещения. . . . . . . . . . . . . . . .83

9.4. Теоремы о дифференцировании и интегрировании оригинала. Теорема о свертке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

9.5. Нахождение оригинала правильной рациональной дроби. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

10. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 10.1. Понятие числового ряда. Сходимость ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 10.2. Признак сравнения для положительных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . 89 10.3. Интегральный признак сходимости положительного

ðÿäà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

103

10.4. Признаки Коши и Даламбера сходимости ряда. . . . . . . . . . . . . . . .92 10.5. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося

ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 10.6. Абсолютная и условная сходимость ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 11. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 11.1. Понятие степенного ряда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 11.2. Радиус и интервал сходимости степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . 98

11.3. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

11.4. Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (функции одной вещественной переменной)

Учебное пособие

Редактор Э.К.Долгатов

Подписано в печать

. Формат 60 ×84 1/16. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Гарнитура ½Times New Roman “. Печ. л. 6,5. Тираж 225 экз. Заказ

Издательство СПбГЭТУ ½ЛЭТИ“ 197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1111

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
02.07.2019300.85 Кб41 сем_вопросы_ч1.jpg
#
02.07.2019207.11 Кб41 сем_вопросы_ч2.jpg
#
05.07.20191.13 Mб52 сем_вопросы.jpg
#
02.07.201917.39 Mб33Демидович_матан.pdf
#
02.07.2019637.1 Кб56МА_Метода.pdf