Добавил:

LuCalm Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический анализ

Файл:

МА_Метода

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.07.2019

Размер:

637.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Доказательство. Обозначим lim

= K > 0, ε =

. По определе-

нию предела и учитывая, что для любого n N bn > 0, имеем

δ N : n > δ

− K

K an

3K K

< an <

bn.

Теперь воспользуемся

теоремой

10.2 и следствиями 10.1 , 10.2 :

+∞

n=1 an сходится

an сходится

bn сходится bn сходит-

∞

n≥δ

+∞

ñÿ

bn сходится.

Аналогично,

n=1 bn

сходится

bn сходит-

+∞

n≥δ

ñÿ

an сходится n=1 an сходится.

n≥δ

sin(x)

tg(x)

arcsin(x)

arctg(x)

Òàê êàê lim

= lim

x→0

= lim

ln(1 + x)

= lim

− 1

= 1, то из предельного признака сравнения

x→0

+∞

следует, что ряды

sin(an),

tg(an),

arcsin(an),

arctg(an),

n=1

ln(1 + an), (exp(an) − 1) сходятся или расходятся одновременно с

n=1 n=1

+∞
рядом	an, åñëè an > 0 è lim an = 0.
nP			+∞ 1
	=1
Пример 10.2. Ряд			n=1		называется гармоническим. Так как (см.
Пример 10.2. Ряд			n=1	n	называется гармоническим. Так как (см.
пример 10.1) lim		ln(1 + 1	P)			∞	1	расходится, то по
пример 10.1) lim		1/n		= 1 è ðÿä n=1 ln			1 + n	расходится, то по
			/n			+
						P

+∞ 1

предельному признаку сравнения расходится и ряд P n. •

n=1

10.3.Интегральный признак сходимости положительного ряда

Теорема 10.4. Пусть функция f непрерывна, положительна и не

	+∞	+∞
возрастает на [1, +∞). Тогда ряд	nP	R1
возрастает на [1, +∞). Тогда ряд	f(n) и интеграл	f(x) dx сходят-
	=1

ся или расходятся одновременно. Если ряд и интеграл сходятся, то для

+∞	+∞
nR	R
любого n N верна оценка	f(x) dx ≤ S − Sn ≤ f(x) dx.
+1	n

	Доказательство. Òàê êàê							fn	положительна на	[1, +∞)	, то последова-
						n		fn		[1, +∞)
тельности Sn =						f(k) è In =		R1	f(x) dx возрастают. Так как сходимость
						k=1
		+	∞			P	+
ðÿäà			∞				∞
ðÿäà		n=1		f(n) и интеграла			f(x) dx равносильна существованию конеч-
		n=1					1
íûõ		пределов			lim Sn è lim IRn соответственно, то по теореме 2.15 (Вейер-
íûõ		P			lim Sn è lim IRn соответственно, то по теореме 2.15 (Вейер-

штрасса) достаточно показать, что последовательности {Sn} è {In} могут быть ограничены сверху лишь одновременно.

Òàê êàê f не возрастает на [1, +∞), то для любых k N è x[k, k + 1] верны неравенства f(k + 1) ≤ f(x) ≤ f(k). По следствию

= 1, 2(, .	+. . , n	≤	k+1			≤
= 1, 2(, .	+. . , n	≤	1,Rk получим			≤	f(k). Складывая эти неравенства для k =
6.2 f k	1)		f(x) dx				f(k). Складывая эти неравенства для k =
		−		k+1
n−1			n−1	k+1			n−1
k=1 f(k + 1) ≤ k=1				Z	f(x) dx ≤ k=1 f(k) Sn − f(1) ≤ In ≤ Sn−1.
X			X k				X

Последнее неравенство верно при n > 1.

Если последовательность {Sn} ограничена сверху, т. е. существует число M > 0 такое, что для любого n N верно неравенство Sn ≤ M, òî In ≤ Sn−1 äëÿ n > 1. Так как последовательность {In} возрастает, то неравенство In ≤ M выполнено для всех n N.

Обратно, если последовательность {In} ограничена сверху, т. е. существует число M такое, что для любого n N верно неравенство In ≤ M, òî Sn ≤ In + f(1) ≤ M + f(1). Докажем оценку в предположении, что ряд

+∞

k+1 k=P

и интеграл сходятся. Очевидно, S − Sn

f(k). Из полученных выше

∞

n+1

∞

неравенств имеем

f(x) dx = k=n+1

f(x) dx ≤ k=n+1 f(k) = S − Sn ≤

n+1

X k

∞

+∞

≤ k=n+1

f(x) dx =

f(x) dx.

X k−1

+∞ 1

Пример 10.3. Ðÿä P nλ называется обобщенным гармоническим ря-

n=1

дом или рядом Дирихле. Покажем, что ряд Дирихле сходится при λ > 1 и расходится при λ ≤ 1.

Доказательство.

√

> 1 lim an = +∞ è ðÿä

Пусть λ > 0. Рассмотрим функцию f : [1, +∞) → R, f(x) = xλ . Очевидно, f непрерывная, положительная и убывающая. Несобственный

+∞ 1

интеграл R1 xλ dx сходится при λ > 1 и расходится при 0 < λ ≤ 1 (см. пример 7.1). Следовательно, по интегральному признаку сходимости (тео-

рема 10.4 ) ряд Дирихле сходится при λ > 1 и расходится при 0 < λ ≤ 1.

Åñëè λ ≤ 0, òî lim nλ 6= 0 и ряд Дирихле расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда. •

+∞ 1

Пример 10.4. Найдем сумму ряда P n4 с точностью ε = 0.01. Ðàñ-

n=1

сматриваемый ряд есть ряд Дирихле с λ = 4, следовательно, он сходится.

По теореме 10.4 имеем 0 ≤ S − Sn ≤											+∞	n4 dx =	3n3 . Решим неравенство
											Zn
												1	1
1				< 0.01. Получаем, что n ≥ 4. Значит S − Sn < 0.01. Вычисляем

	3n3
S		4	= 1 +		1	+	1	+	1	= 1.08. Èòàê S	= 1.08 с точностью ε = 0.01.			•

				24		34		44

10.4. Признаки Коши и Даламбера сходимости ряда

Пусть {an} последовательность неотрицательных чисел.

Теорема 10.5 (признак			Êîøè). Åñëè	существует предел
lim √			+∞
lim √	an	= K [0, +∞], òî ïðè K < 1 ðÿä		an сходится, при K >
		+∞	nP
n
			=1

an расходится.

n=1

Пусть

√

> δ n an

По определению предела

lim n

= K ε > 0

δ N : |

√

− K| < ε

K − ε < √

< K + ε.

K < 1. Возьмем ε > 0

так, чтобы q = K + ε < 1. Тогда

n >

< q an < qn

P qn сходится, то по

. Òàê êàê ðÿä

признаку

n>δ

+∞

сравнения сходится ряд

an, а потому и ряд

an сходится.

n>δ

n=1

−

ε > 1. Тогда

Пусть K > 1. Возьмем ε > 0 так, чтобы q = K

n >

> δ √an > q1

∞

> q1 , а потому lim an = +∞ è ðÿä

an расходится в

силу следствия 10.1 .

Теорема 10.6 (признак

Даламбера).

Åñëè

существует предел

an+1

+∞

lim an

сходится, при D >

= D [0, +∞], òî ïðè D < 1 ðÿä

=1 an

> 1 lim an = +∞ è ðÿä

an расходится.

Доказательство. По определению предела

− D

< ε

lim an

= D ε > 0 δ N : n > δ

an+1

D −

ε <

< D + ε (D − ε) an

< an+1 < (D + ε) an.

Пусть D < 1. Возьмем ε > 0 так, чтобы q = D + ε < 1. Тогда n >

> δ an+1 < qan. Полагая n

= δ + 1, n = δ + 2,

. . . , n

= δ + k, . . .

последовательно получим

aδ+2 < qaδ+1, aδ+3 < qaδ+2 < q2aδ+1, . . . , aδ+k+1 < qkaδ+1, . . . .

qkaδ+1 сходится, то по признаку сравнения сходится ряд

Òàê êàê ðÿä

+∞

k≥0

P Пусть D > 1.

ε > 0 так, чтобы D

ε > 1. Тогда

n >

an, а потому и ряд

an сходится.

n>δ

n=1

−

Возьмем

∞

> δ an+1 > (D − ε)an > (D − ε)n−δaδ+1, а потому lim an = +∞ è ðÿä

расходится в силу следствия 10.1 .

Замечание 10.1. Существуют сходящиеся и

расходящиеся

ðÿäû

+∞

an+1

an, для которых K = lim √an = 1 èëè D = lim

= 1. Например для

+∞ 1

ряда Дирихле

, который сходится при λ > 1 и расходится при λ ≤ 1

nλ

λ имеем K = lim rn

= lim e−λ ln(n)/n =

(см. пример 10.3), при любом

nλ

an+1

nλ

= e0 = 1 è D = lim

= lim

= 1.

(n + 1)λ

n + 1

+∞

Åñëè ðÿä

an сходится по признаку Коши, т. е. lim √

= K < 1, òî

легко

n=1

вычислить сумму такого ряда с любой заданной точностью .

Для этого: 1) возьмем q такое, что K < q < 1; 2)m+1

δ N

÷òî n > δ

√an < q; 3) найдем m N такое, что 1

найдем

такое,

q < ε; 4) положим

−

n0 = max{δ, m}.

Тогда |S − Sn0 | < ε, т. е. за приближенное значение суммы ряда с

точностью ε можно взять Sn0 . Докажем это утверждение:

lim

N qn0

lim

qn0+1(1 − qN ) =

qn0+1

Pqm+1 < ε.

−

n0 |

−

n0+1 +

+2 + · · ·

= N

∞ k=1

n0+k ≤

∞ kP

→

∞

≤ N

−

≤ 1

−

∞

n + 1

Пример 10.5. Найти сумму n=1

с точностью ε = 0.01.

3n + 1

+ P

1. Òàê êàê lim √an = lim

3n + 1

. то можно взять q =

. 2. Решим

√an < q 3n + 1

< 2 n > 1, возьмем δ = 1. 3. Решим

n + 1

неравенство

qm+1

0.5m+1

= 0.5m < 0.01 m ≥ 7, возьмем m = 7.

< ε

1 − q

1 − 0.5

4. Положим n0 = max{δ, m} = 7. По доказанному ранее за приближенное значение суммы ряда с точностью ε = 0.01 можно взять

2		1		3		2		4	3		5	4		6	5		7
S7 =			+				+			+			+			+
S7 =	4		+		7		+	10		+	13		+	16		+	19
= 0.7803				0.78.			•
= 0.7803			=	0.78.
			+∞
Åñëè ðÿä			nP	an сходится по признаку Даламбера, т. е.
			=1

6	+	22	7
			=
		8

lim an+1 = D < an

< 1, то легко вычислить сумму такого ряда с любой заданной точностью

ε. Для этого: 1) возьмем q такое, что D < q < 1; 2) найдем δ						N	{	}
					m		0
	an+1	< q; 3) найдем m N такое, что aδ+1		q
такое, что n > δ							< ε;
	an		1 − q

4) положим n0 = δ + m. Тогда |S −Sn0 | < ε, т. е. за приближенное значение суммы ряда с точностью ε можно взять Sn0 . Докажем это утверждение:

lim

qm+k−1

= lim a

−

< ε.

−

δ+m+1

δ+m+2

+ · · · = N→+∞ k=1

δ+m+k

≤

)

+1q

→

−

≤ N→+∞ k=1

δ+1

+∞

δ+1

∞ n

Пример 10.6. Найти сумму

с точностью ε = 0.01.

= 1.

1. Òàê êàê lim

n+1 = lim (

1)3

1. то можно взять q

n=1 3

n +

3n+1n

2. Решим неравенство

an+1

< q

n + 1

n > 2, возьмем δ = 2.

Кроме того,

	qm		3 0.5m
3. Решим неравенство aδ+1		< ε			< 0.01 0.5m−1 <
	1 − q		33	1 − 0.5

< 0.09 m ≥ 5, возьмем m = 5. 4. Положим n0 = δ + m = 7. По доказанному ранее за приближенное значение суммы ряда с точностью ε = 0.01

можно взять S	7	=	1	+		2	+	3	+		4	+	5	+	6	+	7	= 0.7480 =	0.75.	•
			3		32			33		33			35		36		37

10.5. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда

		+∞
n	Ðÿä n=1(−1)n+1an = a1 − a2 + a3 − a4 + . . . , ãäå an > 0 для любого
n	N,	P
		называется знакочередующимся.
		называется знакочередующимся.
	Теорема 10.7 (признак Лейбница). Если для любого n N an+1 ≤
≤ an è lim an = 0, òî ðÿä					+∞
≤ an è lim an = 0, òî ðÿä					(−1)n+1an сходится, его сумма S [0; a1] è
для любого n N			S	SnnP an+1.
			\|	−	=1
			\|	−	\| ≤

Доказательство. Покажем, что последовательность частичных сумм ряда с четными индексами {S2n} не убывает и ограничена сверху. В самом

деле, так как по условию для любого n N an+1 ≤ an, òî

S2 = a1 − a2 ≥ 0, . . . , S2n+2 = S2n + (a2n+1 − a2n+2) ≥ S2n.

S2n = a1−(a2−a3)−· · ·−(a2n−2−a2n−1)−a2n ≤ a1. Следователь- íî, 0 ≤ S2 ≤ · · · ≤ S2n ≤ S2n+2 ≤ · · · ≤ a1. Неубывающая ограниченная сверху последовательность {S2n} по теореме 2.15 имеет предел lim S2n = S è 0 ≤ S ≤ a1. Для последовательности частичных сумм с нечетными индексами {S2n+1} выполнено

lim S2n+1 = lim(S2n + a2n+1) = lim S2n + lim a2n+1 = S + 0 = S.

Итак, последовательности частичных сумм

{S2n} è {S2n+1} имеют

один и тот же предел S. Отсюда lim Sn = S.

По доказанному ранее знакочередующийся ряд a

n+1 −

n+2

+ a3

. . .

n+2

−

сходится и его сумма 0 ≤ Rn ≤ an+1. Поэтому |S − Sn| = |(−1)

Rn| =

= Rn ≤ an+1.

n+1

Пример 10.7. Вычислить сумму ряда +∞

(−1)

с точностью

ε = 0, 01.

=1 n(n + 1)(n + 2)

Òàê êàê an =

убывает и lim an = 0, то по признаку

n(n + 1)(n + 2)

Лейбница данный ряд сходится. Так как a4 =

< ε, òî |S − S3| ≤

4 · 5 · 6

≤ a4 < ε. Вычислим S3 =					1			−			1			+			1			= 0.142. Значит

			1	·	2	·	3		2	·	3	·	4		3	·	4	·	5
S =	0.14.	•		·		·				·		·				·		·
		•

10.6.Абсолютная и условная сходимость ряда

сходится.	+∞	+∞
сходится.	P	nP
Теорема 10.8 Если ряд	\|an\| сходится, то и ряд	an также
	n=1	=1

Доказательство. Введем новые последовательности {a+n } è {a−n }:

0, an < 0

−an,

< 0

и рассмотрим два положи-

a+ =

an, an ≥

0 ; a− =

≥ 0

тельных ряда

+∞ a+ è

+∞ a−. Òàê êàê a+

è a−

, òî

ýòè ðÿäû

n ≤ | n|

n ≤ | n| N

n=1

n=1 n

сходятся по признаку сравнения. По предложению 10.1 разность

сходящихся рядов есть сходящийся ряд, т.е. ряд

+∞

(an+ − an−) сходится. Да-

+∞ nP

лее, очевидно, что an+ − an− = an, значит ряд

an сходится.

∞ (

∞

Замечание 10.2. Åñëè

n=1 an сходится, то ряд n=1 |an|

может расхо-

диться. Например, ряд

−

n+1

сходится по признаку Лейбница, но ряд

nP+∞ 1

из абсолютных величин

гармонический ряд, который расходится

(см. пример 10.2).

+∞

nP+∞

Определение 10.2. Если ряд

|an| сходится, то говорят, что ряд

+∞

an сходится абсолютно. Если ряд

an сходится, но

|an| расходит-

n=1

ся, то говорят, что ряд

an сходится условно.

В этих терминах ряд

+∞

(−1)n+1

сходится условно. Теорему 10.8 мож-

но сформулировать так:

n=1

абсолютно сходящийся ряд сходится.

+∞

рестановке его членов новый ряд P

Замечание 10.3.

Åñëè ðÿä

an сходится абсолютно, при любой пе-

n=1

по-прежнему будет сходиться и иметь ту

n=0

P an(x − x0)n

+∞

(x − x0). Множество сходится, называется

+∞

P an(x − x0)n, ãäå

n=0

+∞

же сумму. Если же ряд P an сходится условно, то всегда можно найти

n=1

такую перестановку его членов, что новый ряд будет сходиться к любому наперед заданному числу (см. теорему Римана, доказанную в [ 7 ] т. 1.10)

или даже станет расходящимся.

Для исследования абсолютной сходимости часто применяют признаки Коши и Даламбера, которые в этом случае имеют следующий вид.

< 1 ðÿä	+∞ a сходится абсолютно; при K > 1p	\|lim\|	a = +	è ðÿä
Теорема 10.9 Если существует предел lim n		an	= K, òî ïðè K <
	P n		\| n\|	∞
+∞	n=1
+∞

an расходится.

n=1

Теорема 10.10 Если существует предел lim

D, òî ïðè

an+1

D < 1

ðÿä

∞

сходится абсолютно; при

D > 1

= +

è ðÿä

lim

∞

n=1

+∞

an расходится.

n=1

lim	an+1	= D, òî K = D.	lim p	\|an\|	= K
	Замечание 10.4. Отметим, что если существуют		n			è
	an

11. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

11.1. Понятие степенного ряда

Пусть {an} последовательность чисел, x0 R.

Определение 11.1. Семейство числовых рядов x R, называется степенным рядом по степеням тех x, для которых числовой ряд

областью сходимости степенного ряда и обозначается Dcx. Функция S :

+∞

Dcx → R S(x) = P an(x − x0)n называется суммой степенного ряда.

n=0

Dcx

x − x0 = +

Очевидно,

. Заменой

w степенной ряд по степеням

x − x0 преобразуется в ряд по степеням w

∞ anwn и обратно.

+∞ xn

Пример 11.1. Äëÿ ðÿäà n=0

Dcx = R. Возьмем x R. Îáî-

n P

xn+1

значим bn =

1 = 0 <

n! , тогда lim

= lim (n + 1)! xn

= lim n|+|

Даламбера

сходится

любом

< 1, по признаку

ðÿä

ïðè

. Аналогич-

∞

но можно показать, что для ряда

n=0 n!x

Dcx = {0}, à äëÿ ðÿäà

n=0 x

Dcx = (

1; 1)

x < 1) и его сумма

−

( т. е. совпадает с интервалом

равна

S(x) =

− x

11.2. Радиус и интервал сходимости степенного ряда

+∞

Теорема 11.1 (Абеля). Если сходится ряд P anxn1 è |x| < |x1|, òî

n=0

+∞

ðÿä P anxn сходится абсолютно.

n=0

Доказательство. По необходимому признаку сходимости ряда последовательность {anxn1 } стремится к нулю, а потому ограничена, т. е. M >

> 0 :

anx1n

M. Òàê êàê q =

< 1, òî

anxn

| ≤

{ } |

∞

è ðÿä

n сходится. По

признаку

сравнения

= |anx1 |

≤

n=0 Mq

+∞

anx

сходится.

(теорема 10.2 ) ряд

+∞ anxn существует ра-

Теорема 11.2. У любого степенного ряда

+∞

сходится

диус сходимости, т. е. такой Rcx

[0; +∞], ÷òî ðÿä n=0 anxn

абсолютно при всех

< Rcx

и расходится при

cx.

> R P

Доказательство. Положим Rcx = sup |x|. Åñëè |x| > Rcx, òî x 6 Dcx

x Dcx

и ряд расходится. Если |x| < Rcx, òî x1 Dcx, такой что |x| < |x1| < Rcx.

+∞

По теореме Абеля ряд P anxn сходится абсолютно.

n=0

x = Rcx.

Замечание 11.1. Предыдущая теорема показывает, что область сходимости Dcx содержит интервал |x| < Rcx, называемый интервалом схо-

димости степенного ряда, и, возможно, еще содержит точки x = −Rcx è

Предложение 11.1. Пусть существует lim n |an| = K. Åñëè K 6= 0 6= 0, òî Rcx = 1/K; åñëè K = 0, òî Rcx = +∞; åñëè K = +∞, òî Rcx = 0.

+∞

Доказательство. Применим к ряду P anxn признак Коши. Для это-

n=0

p		p
го вычислим lim n	\|anxn\| = \|x\| lim n \|an\| = K\|x\|. Åñëè K = 0, òî äëÿ ëþ-

áîãî x R K|x| = 0 < 1, поэтому Dcx = R è Rcx = +∞. Åñëè K = +∞, то для любого x 6= 0 K|x| = +∞ > 1, поэтому Dcx = {0} è Rcx = 0. Åñëè K 6= 0 è K 6= +∞, то ряд сходится абсолютно при K|x| < 1, ò. å.

ïðè |x| < 1/K, и расходится при K|x|

> 1, ò. å. ïðè |x| > 1/K. Поэтому

Rcx = 1/K.

11.3. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда

+∞

Пусть S(x) сумма степенного ряда

anxn = a0+a1x+· · ·+anxn+. . . ,

+∞

Rcx его радиус сходимости. Рассмотрим два ряда:

nanxn−1 = a1+

n=1

исходного почленным диф-

+2a2x +

+ nanx − + . . . , полученный из

· · ·

n+1

∞ an

ференцированием, и n=0

= a0x +

+ · · · +

+ . . . ,

n + 1

полученный из

исходного почленным интегрированием. Приведем без до-

казательства следующий важный результат.

Теорема 11.3. Для рядов +∞ anxn, +∞ nanxn−1 è +∞

xn+1 ðàäè-

n=0

n=1

n=0 n + 1

усы сходимости совпадают.

Сумма степенного ряда

дифференцируема

и интегрируема в интервале сходимости

|x| < Rcx, и справедливы равен-

ñòâà S0(x) = +∞ nanxn−1 è

S(t) dt = +∞

xn+1.

n=1

n + 1

Теорему можно кратко сформулировать так: в интервале сходимости степенной ряд можно дифференцировать и интегрировать почленно. Доказательство теоремы можно найти в [ 7 ] (т. 2.16 и 2.17).

Пример 11.2. Äëÿ |x| < 1 справедливы равенства:

+∞		n+1 xn			+∞	n x2n+1
X	(−1)				X	(−1)
ln(1 + x) =	(−1)		n	;	arctg(x) =	(−1)	2n + 1	.
n=1					n=0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
02.07.2019300.85 Кб41 сем_вопросы_ч1.jpg
#
02.07.2019207.11 Кб41 сем_вопросы_ч2.jpg
#
05.07.20191.13 Mб52 сем_вопросы.jpg
#
02.07.201917.39 Mб33Демидович_матан.pdf
#
02.07.2019637.1 Кб56МА_Метода.pdf