МА_Метода

Доказательство. Допустим противное: b 6= c, при этом можно счи-

òàòü, ÷òî b < c. Возьмем ε = (c − b)/2 > 0. Очевидно, Kε(b) ∩ Kε(c) = . По определению 2.3

◦

lim f(x) = b äëÿ ε > 0 δ1 > 0 : x Kδ1 (a) ∩ X f(x) Kε(b);

x→a

◦

lim f(x) = c äëÿ ε > 0 δ2 > 0 : x Kδ2 (a) ∩ X f(x) Kε(c).

x→a

Значит f(x) Kε(b) ∩ Kε(c) = . Получено противоречие.

Замечание 2.1. В теории пределов постоянно используется следующий простой факт: если утверждения P1, P2, . . . , Pn справедливы в окрест-

ностях Kδ1 (a), Kδ2 (a), . . . , Kδn (a) точки a соответственно, то все утверждения одновременно справедливы в пересечении этих окрестностей:

Kδ1 (a) ∩ Kδ2 (a) ∩ · · · ∩ Kδn (a) = Kδ(a), ãäå δ = min{δ1, δ2, . . . , δn}.

Замечание 2.2. Определение предела не дает возможности вычислить предел функции. Оно позволяет лишь проверить, является ли данная точка искомым пределом. Поэтому необходимо изучить свойства пределов и разработать технику их вычисления. Это и делается в следующих пара-

графах.

2.3. Предел суперпозиции функций

Пусть f : X → Y, g : Y → R. Рассмотрим g ◦f : X → R суперпозицию функций f è g.

Теорема 2.2. Если lim f(x) = b, lim g(x) = c и f(x) 6= b в некоторой

x→a x→b

проколотой окрестности точки a, то lim(g ◦ f)(x) = c.

x→a

Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. Тогда

◦

lim g(y) = c äëÿ ε > 0 δ1 > 0 : y Kδ1 (b) ∩ Y g(y) Kε(c);

y→b

потому g(f(x)) Kε(c).

10

◦

Èòàê, ε > 0 δ > 0 : x Kδ(a) ∩ X g(f(x)) Kε(c). По определе-

lim(g ◦ f)(x) = c.

x→a

Åñëè c = g(b), то формулировка и доказательство предыдущей теоремы упрощаются.

= g(b).

Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. Тогда

произвольное ε > 0. Положим ε1 = |λ|. По определению предела

◦

lim f(x) = b äëÿ ε1 > 0 δ > 0 : x Kδ(a) ∩ X |f(x) − b| < ε1.

x→a

определению предела имеем lim(λf)(x) = λb.

x→a

2. Возьмем произвольное ε > 0. Положим ε1 = ε/2. По определению предела

◦

lim f(x) = b äëÿ ε1 > 0 δ1 > 0 : x Kδ1 (a) ∩ X |f(x) − b| < ε1,

x→a

◦

lim g(x) = c äëÿ ε1 > 0 δ2 > 0 : x Kδ2 (a) ∩ X |g(x) − c| < ε1.

x→a

11

◦

Положим δ = min{δ1, δ2}. Тогда для x Kδ(a) ∩ X справедливы оба

|(f(x) ± g(x) − (b ± c)| = |(f(x) − b) ± (g(x) − c)| ≤ ≤ |f(x) − b| + |g(x) − c| < ε1 + ε1 = ε/2 + ε/2 = ε.

→

min{ε, 1}

3.Возьмем произвольное ε > 0. Положим ε1 = |c| + |b| + 1. По определению предела

◦

lim f(x) = b äëÿ ε1 > 0 δ1 > 0 : x Kδ1 (a) ∩ X |f(x) − b| < ε1,

x→a

◦

lim g(x) = c äëÿ ε1 > 0 δ2 > 0 : x Kδ2 (a) ∩ X |g(x) − c| < ε1.

x→a

◦

Положим δ = min{δ1, δ2}. Тогда для x Kδ(a) ∩ X справедливы оба

◦

Отсюда x Kδ3 (a) ∩ X |g(x)| = |c + (g(x) − c)| ≥ |c| − |g(x) − c| > |c|/2

12

2.5. Общие свойства пределов

Пусть f, g, h : X → R, a предельная точка X.

Теорема 2.5. Функция, имеющая предел в точке, ограничена в неко-

торой ее проколотой окрестности. Точнее, если lim f(x) = b, то для

x→a

любого ε > 0 существует проколотая окрестность точки a, в которой b − ε < f(x) < b + ε.

Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. Тогда

◦

lim f(x) = b äëÿ ε > 0 δ > 0 : x Kδ(a) ∩ X |f(x) − b| < ε.

x→a

◦

Kδ(a) есть искомая проколотая окрестность, так как |f(x) − b| < ε равносильно b − ε < f(x) < b + ε.

Теорема 2.6 (о стабилизации знака). Если lim f(x) = b > 0, то

x→a

f(x) > 0 в некоторой проколотой окрестности точки a.

Доказательство. По предыдущей теореме для ε = b/2 найдется проколотая окрестность точки a, в которой f(x) > b − ε = b/2 > 0.

Теорема 2.7 (о предельном переходе в неравенстве). Если

lim f(x) = b, lim g(x) = c и в некоторой проколотой окрестности точки

x→a x→a

a справедливо неравенство f(x) ≤ g(x), то b ≤ c.

13

Доказательство. Допустим противное: b > c. Тогда lim(f(x)−

x→a

−g(x)) = b − c > 0 и по предыдущей теореме в некоторой проколотой

◦

окрестности Kδ1 (a) справедливо неравенство f(x) − g(x) > 0. По условию

◦

теоремы в некоторой проколотой окрестности Kδ2◦(a) справедливо неравен-

ñòâî f(x) ≤ g(x). Пусть δ = min{δ1, δ2}. Тогда в Kδ(a) должны быть справедливы оба неравенства f(x) > g(x) è f(x) ≤ g(x), что невозможно.

Теорема 2.8 (о сжатой функции). Если lim f(x) = lim g(x) = b и

x→a x→a

в некоторой проколотой окрестности точки a справедливы неравенства

f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), то существует lim h(x) = b.

x→a

Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. По теореме 2.5

все три утверждения:

b − ε < f(x),

g(x) < b + ε, b − ε < h(x) < b + ε |h(x) − b| < ε.

f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)

◦

Èòàê, ε > 0 δ > 0 : x Kδ(a)∩X |h(x)−b| < ε. По определению

предела имеем lim h(x) = b.

x→a

Определение 2.4. Если lim f(x) = 0, то говорят, что f есть беско-

x→a

нечно малая функция в точке a или при x → a.

Теорема 2.9 (о произведении бесконечно малой функции на

ограниченную). Если lim f(x) = 0, а g(x) ограничена в некоторой проко-

x→a

лотой окрестности точки a, то существует lim(fg)(x) = 0.

x→a

Кратко теорему 2.9 можно сформулировать так: произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. По условию

◦

δ1 > 0, M > 0 : x Kδ1 (a) ∩ X |g(x)| ≤ M.

14

2.6. Понятие асимтотических оценок. Символы o, , O

Асимтотическими оценками называются соотношения вида f(x) =

= o(g(x)), f(x) g(x), f(x) = O(g(x)) ïðè x → a. Дадим точные определения

Определение 2.5. Пусть точка a предельная точка множества X, заданы функции f, g : X → R, причем g(x) 6= 0 в некоторой проколотой окрестности точки a.

1. Функция f есть o-малое от функции g при x → a, если

При этом пишут f(x) = o(g(x)) при x → a. Если f и g являются бесконечно малыми при x → a и f(x) = o(g(x)), то функция f называется бесконечно малой более высокого порядка, чем g при x → a.

2. Функции f и g эквивалентны (асимтотически равны) при x → a,

3. Функция f есть O-большое от функции g при x → a (f ограничена по сравнению с g при x → a), если в некоторой проколотой окрестности точки a для некоторого K > 0 выполнено неравенство |f(x)| ≤ K|g(x)|. При этом пишут f(x) = O(g(x)) при x → a.

15

Замечание 2.3. Ïðè x → a имеем:

1) f(x) = O(1) f ограничена в некоторой проколотой окрестности точки a;

2)f(x) = o(1) f есть бесконечно малая;

3)f(x) = o(g(x)) f(x) = O(g(x)).

Правила действия с асимтотическими оценками при x → a:

13)f(x) g(x) f(x) = g(x) + o(g(x));

14)F (x) f(x), G(x) g(x)

Докажем, например, правила 1, 5, 10, 14 a:

5)из неравенств |O(g(x))| ≤ K1|g(x)| è |O(g(x))| ≤ K2|g(x)|, верных

âнекоторой проколотой окрестности точки a, следует, что

|O(g(x)) + O(g(x))| ≤ |O(g(x))| + |O(g(x))| ≤ (K1 + K2)|g(x)|

Это и означает, что O(g(x)) + O(g(x)) = O(g(x)).

10) по теореме 2.9 о произведении бесконечно малой на ограниченную,

следовательно, o(f(x))O(g(x)) = o(f(x)g(x)).

правой ε-окрестностями точки a.

16

◦

Очевидно, Kε− Kε+ = (a − ε, a) (a, a + ε) = Kε(a).

Определение 2.7. Точка a называется предельной слева (справа) точкой множества X, если пересечение любой ее левой (правой) ε-окре- стностью с X не пусто.

Определение 2.8. Пусть a предельная слева (справа) точка множества X, f : X → R. Точка b R называется пределом слева (справа) функции f в точке a, если для любой ε-окрестности b существует такая левая (правая) δ-окрестность a, что для всех x из пересечения ее с X значения функции принадлежат выбранной ε-окрестности точки b.

предела справа lim f(x) = b èëè f(a + 0) = b.

x→a+0

Кратко определение предела можно записать так:

Теорема 2.10. Пусть a предельная слева и справа точка множе-

17

◦

Èòàê ε > 0 δ > 0 : x Kδ(a) ∩ X f(x) Kε(b). По определению

предела lim f(x) = b.

x→a

Замечание 2.4. Åñëè a есть предельная точка слева (но не справа) множества X, то понятия предела и предела слева в точке a совпадают,

◦

òàê êàê Kδ(a) ∩ X = Kδ−(a) ∩ X при малых δ. Аналогично, если a есть предельная точка справа (но не слева) множества X, то понятия предела

и предела справа в точке a совпадают.

2.8. Бесконечные пределы и пределы на бесконечности

Расширим множество вещественных чисел R, добавив к нему два ½ несобственных “ ýëåìåíòà: −∞ (минус бесконечность) и +∞ (плюс бесконеч- ность). Множество R = R {−∞, +∞} называется расширенным множест-

вом вещественных чисел. При этом считаем, что выполнены неравенства −∞ < +∞ è −∞ < x < +∞ для любого x R.

Пусть x R. Арифметические операции в R определим так. Сложение: x + (+∞) = +∞; (+∞) + x = +∞; x + (−∞) = −∞;

(−∞) + x = −∞; (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞. Не определены (+∞) + (−∞) è (−∞) + (+∞).

Вычитание: (+∞) − x = +∞; (−∞) − x = −∞; x − (+∞) = −∞; x − (−∞) = +∞; (+∞) − (−∞) = +∞; (−∞) − (+∞) = −∞. Не определены (+∞) − (+∞) è (−∞) − (−∞).

Умножение: 1(+∞) = +∞; 1(−∞) = −∞; (−1)(+∞) = −∞; (−1)(−∞) = +∞; тогда x˜ R \ {0} положим x˜(±∞) = (±∞)˜x = = sign(˜x)(±∞), ãäå sign(±∞) = ±1 . Не определены 0(±∞) è (±∞)0.

Деление: x/(±∞) = 0; (±∞)/x = sign(x)(±∞), åñëè x 6= 0. Не определены (±∞)/(±∞) и деление на 0.

Определение 2.9. Пусть ε > 0. Множества Kε(+∞) = (ε, +∞] è

Kε(−∞) = [−∞, −ε) называются ε-окрестностями точек +∞ и −∞.

◦ ◦

Множества Kε(+∞) = (ε, +∞) è Kε(−∞) = (−∞, −ε) называются проколотыми ε-окрестностями точек +∞ и −∞.

ßñíî, ÷òî Kε1 (±∞) ∩ Kε2 (±∞) = Kε(±∞), ãäå ε = max{ε1, ε2}.

Определение 2.10. Точка +∞ (−∞) называется предельной точ-

кой множества X R если пересечение любой ее проколотой ε-окрест-

◦

ности с X не пусто, т. е. для любого ε > 0 выполнено Kε(+∞) ∩ X 6=

◦

6= (Kε(−∞) ∩ X 6= ).

Для множества Z целых чисел +∞ è −∞ есть предельные точки.

18

Определение 2.11. Пусть X R, a R, a предельная точка X, f : X → R. Точка b R называется пределом функции f в точке a, если для любой ее ε-окрестности существунт такая проколотая δ- окрестность a, что для всех x из пересечения ее с X значения функции принадлежат выбранной ε-окрестности точки b.

Например, для a = −∞ è b = +∞ имеем:

◦

lim f(x) = +∞ ε > 0 δ > 0 : x Kδ(−∞) ∩ X f(x) Kε(+∞)

Определение 2.12. Если lim |f(x)| = +∞, то функция f(x) назы-

x→a

вается бесконечно большой в точке a.

Предложение 2.2 можно кратко сформулировать так: f(x) бесконечно большая (бесконечно малая) в точке a 1/f(x) бесконечно малая (бесконечно большая) в точке a.

Â2.4 доказаны арифмети÷åские свойства пределов. Они справедливы

èв том случае, когда a, b, c R с одной оговоркой: для b è c должна быть

определена в R соответствующая арифметическая операция (в противном

случае говорят, что предел представляет собой неопределенность и указывают ее тип).

Например, если lim f(x) = +∞, lim g(x) = −∞, òî

lim(f − g)(x) = lim f(x) − lim g(x) = (+∞) − (−∞) = +∞;

x→a

lim(fg)(x) = lim f(x) lim g(x) = (+∞)(−∞) = −∞.

Íî lim(f +g)(x) есть неопределенность типа ∞−∞ (так как сумма (+∞)+

x→a

(так как частное −+∞∞ не определено в R). Аналогично надо понимать слова неопределенности типа 0∞, 00.

19