- •Севастополь
- •Содержание
- •Введение
- •1. Лабораторная работа №1 «Исследование погрешностей результата вычислений при решении задач вычислительной математики»
- •1.1. Цель работы
- •1.2. Основные понятия элементарной теории погрешностей
- •1.3. Образцы выполнения заданий
- •1.4. Порядок выполнения работы
- •1.5. Контрольные вопросы
- •2. Лабораторная работа №2 «Приближение функций»
- •2.1. Цель работы
- •2.2. Основные теоретические положения и расчетные формулы
- •2.3. Порядок выполнения работы
- •2.4. Содержание отчета о выполнении работы
- •2.5. Контрольные вопросы
- •3. Лабораторная работа №3 «Численное дифференцирование и интегрирование»
- •3.1. Цель работы
- •3.2. Основные теоретические положения и расчетные формулы
- •3.3. Примеры решения типовых задач
- •3.4. Порядок выполнения лабораторной работы
- •3.5. Содержание отчета о выполнении работы
- •3.6. Контрольные вопросы
- •4. Лабораторная работа №4 «Численное решение нелинейных уравнений»
- •4.1. Цель работы
- •4.2. Краткое теоретическое введение
- •4.2.1. Метод половинного деления (бисекции)
- •4.2.2. Метод последовательных приближений (метод простой итерации)
- •4.2.3. Метод Ньютона – Рафсона
- •4.2.3.1. Описание классического метода Ньютона - Рафсона
- •4.2.3.2. Модификации метода Ньютона
- •4.2.4. Обусловленность задачи вычисления корня
- •4.3. Порядок выполнения работы
- •4.4. Содержание отчета о выполнении работы
- •4.5. Контрольные вопросы
- •5. Лабораторная работа №5 «Численное решение дифференциальных уравнений»
- •5.1. Цель работы
- •5.2. Краткие теоретические сведения
- •1) Метод степенных рядов.
- •5.3. Пример решения типовой задачи
- •5.4. Порядок выполнения работы
- •5.5. Контрольные вопросы
- •Приложения
- •Приложение в Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторных работ
- •В2. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №2 «Приближение функций»
- •В3. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №3 «Численное дифференцирование и интегрирование »
- •В4. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №4 «Численное решение нелинейных уравнений»
- •В5. Варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторной работы №4 «Численное решение дифференциальных уравнений»
4.2.3.2. Модификации метода Ньютона
Основным недостатком метода Ньютона является необходимость вычисления значения производной f(X) на каждой итерации. Рассмотрим некоторые модификации, лишенные этого недостатка.
Заметим, что рассматриваемые ниже итерационные методы решения нелинейного уравнения на каждой итерации используют процедуру его линеаризации, то есть исходное нелинейной уравнение заменяется приближенно более простым линейным уравнением.
Упрощенный метод Ньютона
Если производная функции f(X) непрерывна, то ее значение вблизи простого корня почти постоянно. Поэтому можно попытаться вычислить f(X) лишь однажды в точке , а затем заменить f( ) постоянной f( ). В результате получим упрощенную формулу метода Ньютона:
n0. (4.15)
Упрощения вычислений по сравнению с методом Ньютона достигается ценой резкого падения скорости сходимости. Сходимость этого метода является уже не квадратичной, а линейной. Этот метод можно рассматривать как метод простой итерации с итерационной функцией:
(4.16)
Так как
(4.17)
то для знаменателя q соответствующей геометрической прогрессии имеем:
(4.18)
Следовательно, скорость сходимости тем выше, чем ближе начальное приближение к решению .
Метод ложного положения
В основе этой и следующей модификаций метода Ньютона лежит приближенное равенство:
(4.19)
Оно верно при условии известности Zn и Xn и следует из определения производной:
(4.20)
Пусть C фиксированная точка, расположенная в окрестности простого корняX. Заменим в расчетной формуле классического метода Ньютона
производную правой частью формулы (4.19), полагая, что Zn=C.
В результате приходим к формуле ложного положения:
(4.21)
Метод обладает линейной сходимостью. Его можно рассматривать как метод простой итерации с итерационной функцией:
(4.22)
Так как скорость сходимости определяется вблизи корня величиной
(4.22)
то она тем выше, чем ближе окажется выбранная точка C к корню уравнения.
Метод секущих
Замена в формуле (4.12) для метода Ньютона производной f(X) приближением:
приводит к расчетной формуле для метода секущих:
(4.23)
4.2.4. Обусловленность задачи вычисления корня
Будем предполагать, что в достаточно малой окрестности корня выполняется неравенство:
(4.24)
где – предельное значение абсолютной погрешности вычисления функции. Если функция f непрерывна, то найдется такая малая окрестность корня , имеющая радиус , в котором выполняется неравенство (4.24).
Для знак вычисленного значения f*(Х) в общем случае не обязан совпадать со знаком функции f(Х) и, следовательно, становится невозможно определить, какое именно значение Х из интервала обращает функцию в нуль.
Этот интервал называется интервалом неопределенности корня .
Найдем оценку величины ε. Пусть простой корень. Для близких к корню значений аргумента Х справедливо:
(4.25)
Тогда неравенство (4.24) примет вид:
(4.26)
Отсюда
. (4.27)
Следовательно:
(4.28)
где абсолютное число обусловленности задачи вычисления коней нелинейного алгебраического уравнения..