Знаходження параметрів лінійної кореляційної залежності

Нехай результати випробувать над випадковими величинами мають наслідком гіпотезу про наявність лінійної кореляційної залежності між (див., зокрема, приклад 4), тобто до припущення, що

( 36 а )

. ( 36 б )

Потрібно знайти значення параметрів a, b, c, d. Зупинимось на відшуканні перших двох.

Можуть постати два випадки.

А) В результаті випробувань з”являється n різних пар значень випадкових величин . В такому випадку не є необхідним використовувати поняття умов­ного середнього. Знаходження a, b зводиться до мінімізації функції (31), а отже до розв”язання системи рівнянь (32). В зв”зку з цим піддамо систему більш ґрунтовному аналізу.

Поділимо обидві частини кожного рівняння системи (32) на n,

Оскільки

,

система набирає вигляду

( 37 )

Її головний і перший допоміжний визначники дорівнюють

отже за правилом Крамера

Підставляючи знайдені значення a, b в рівняння (36 а) отримуємо

і остаточно

. ( 38 )

Права частина рівняння (38), яку можна назвати статистичним рівнянням прямої реґресії, має такий же вигляд, що й (теоретичне) рівняння лінійної кореляції (13 а).

В) В загальному випадку, коли кожному спостереженому значенню однієї випадкової величини відповідає, взагалі кажучи, декілька значень іншої, міркування дещо змінюються. Саме, кожному з значень відповідає, з одного боку, теоретичне значение , з іншого - умовне середнє , причому, взагалі кажучи, . Отже, вимагається розглянути питання про мінімізацію функції

, ( 39 )

а це веде до системи рівнянь

( 40 )

Подальші спрощення, які починаються з ділення обох частин рівнянь системи на n, приводять її до вигляду, аналогічному до раніше отриманої системи (37),

( 41 )

Звідси, як і в (37), отримуємо

і остаточно – статистичне рівняння лінійної реґресії на

( 42 а )

Аналогічно знаходяться параметри c, d в формулі (36 б) і статистичне рівняння лінійної реґресії на

( 42 б )

Формули (42 а), (42 б), отримані методом найменших квадратів, по суті збігаються з теоретичними формулами (13 а), (13 б).

Приклад 6. Застосуємо метод найменших квадратів до визначення параметрів a, b линій­ної кореляції в прикладі 4 (див. табл. 8).

Таблиця 8. МНК, лінійна кореляція .

№
1	10	14	140	100	1400	10.85	151.90	1519.0
2	30	23	690	900	20700	13.22	304.06	9121.8
3	50	28	1400	2500	70000	15.71	439.88	21994.0
4	70	35	2450	4900	171500	17.66	618.10	43267.0
		100	4680		263600		1513.94	75901.8

На підставі (40) система рівнянь відносно a, b

Розв”язуючи її, знаходимо . Таким чином, отримуємо статистичне рівняння лінійної реґресії на

.

Зауважимо, що останнє рівняння можна було б записати одразу з огляду на формулу (42 а), а саме:

.

Статистичне рівняння лінійної реґресії на запишемо згідно з формулою (42 б)

Порівняємо знайдені раніше (в прикладі 4) значення умовних середніх з значеннями в точках 10, 30, 50, 70 і з значеннями в точках 10, 12, 14, 16, 18 (див. табл. 9). Ми бачимо, що розходження незначні.

Таблиця 9. Порівняння результатів

	10	30	50	70		10	12	14	16	18
	10.98	13.24	15.50	17.76		14.63	27.17	39.71	52.25	64.79
	10.85	13.22	15.71	17.66		12.00	27.50	38.24	55.19	65.00
	0.13	0.02	0.21	0.10		2.63	0.33	1.47	2.94	0.21