Приближенные решения задач устойчивости пластин

Рассмотрим приближенные решения, основанные на использовании энергетического подхода к задачам устойчивости пластин.

Запишем выражение приращения полной потенциальной энергии пластины при ее выпучивании.

                                                           (15.1)

где - параметр нагрузки,

(15.2)

- энергия изгиба пластины, представляющая собой работу изгибных напряжений, а

(15.3)

- работа постоянных по толщине пластины докритических напряжений на деформациях срединной плоскости

Напомним, что возможны два способа поиска точек бифуркации.

I. Из условия стационарности

(15.5)

2. Из условия

(15.6)

при дополнительном требовании минимума нагрузки.

Из условия (15.5) вытекают точные уравнения устойчивости пластины и естественные граничные условия на ее кромках.

Метод Релея-Ритца

Возможные прогибы пластины задаются в виде

, (15.15)

где - функции, обязанные удовлетворять однородным кинематическим граничным условиям. После подстановки (15.15) в (15.1)-(15.3) и интегрирования, получаем квадратичную зависимость

(15.16)

Условия стационарности функции (15.16)

(15.17)

дают систему линейных однородных алгебраических уравнений. Нетривиальное решение возможно лишь в случае равенства нулю определителя этой системы. При однопараметрическом задании нагрузки это будет характеристическое уравнение степени относительно параметра. Наименьший из этих корней дает приближенное значение .

Следует еще раз подчеркнуть, что для того, чтобы воспользоваться энергетическим критерием в форме (15.1)-(15.3) необходимо предварительно решить плоскую задачу о докритическом напряженном состоянии.

Устойчивость пластин при сдвиге

Еще один простой и в то же время достаточно распространенный вариант напряженного состояния пластины - чистый сдвиг: .

Строго говоря, такое состояние порождается равномерно распределенными по контуру касательными усилиями. Однако этот случай является широко распространенной расчетной моделью для стенок лонжеронов при условии, что нормальными напряжениями в них можно пренебречь, а также для панелей кессонов при кручении.

Линеаризованное уравнение устойчивости (13.17) для этого случая

(16.1)

Энергетический критерий устойчивости в форме Брайана (15.1)

. (16.2)

Как и при сжатии, начнем исследование с достаточно длинной пластины Легко видеть, что решение типа цилиндрического изгиба

здесь не проходит, поскольку в (16.1) при дифференцировании по координате y исчезает член, содержащий .

Решение вида

также не проходит, т.к. после подстановки (16.2) в (16.1) переменные не разделяются.

Решение в одинарных рядах

удовлетворяющее условиям шарнирного опирания длинных кромок пластины, после подстановки в (16.1) дает

(16.3)

Поскольку функции на [0,b] не ортогональны, уравнение может привести только к бесконечной связанной системе дифференциальных уравнений относительно разных , что мало привлекательно для решения.

Форму, в которой можно искать приближенное решение для длинной пластинки, подсказывает эксперимент (рис.16.1) - пластина теряет устойчивость с образованием косых волн. Такую форму можно аппроксимировать функцией

(16.4)

обнуляющейся на линиях , образую-щих с осью угол и отстоящих друг от друга на . Функцию следует задать так, чтобы она отвечала кинематическим граничным условиям на продольных кромках.

Например, при их шарнирном закреплении

. (16.5)

Это традиционное представление не удовлетворяет условию

(16.6)

Поскольку условие (16.6) статическое и, следовательно, его выполнять не обязательно, остановимся на представлении (16.5).

Теперь можно воспользоваться методом Релея-Ритца или методом Бубнова-Галеркина, сохранив контурный интеграл в (15.20). Воспользуемся первым. Подставим (16.4), (16.5) в (16.2).

Приравняв нулю, найдем

(16.7)

Параметры найдем из условия минимума

что дает

(16.8)

Таким образом,

Подставляя (16.8) в (16.7), находим

где (16.10)

. (16.11)

Для пластинки, защемленной по продольным кромкам, задав

,

получим .

22