Точные решения задач устойчивости прямоугольных пластин

В общем случае основное уравнение (13.18) имеет переменные коэффициенты как за счет жесткости , так и за счет переменного докритического напряженного состояния. Естественно, что это уравнение позволяет получить точные решения лишь в частных случаях. Основной из них - это случай постоянных коэффициентов, т.е. пластина постоянной жесткости при равномерном докритическом состоянии. И даже в этом случае возможность точного решения зависит от условий на контуре пластины.

Пусть пластина равномерно сжата, причем только в одном направлении, например, вдоль оси погонными усилиями . Тогда

.

Смысл параметра в этом случае

.

Уравнение (13.18) принимает вид

(14.1)

Пусть пластина представляет собой удлиненный прямоугольник с соотношением сторон .

Тогда граничные условия на коротких сторонах пластины по принципу Сен-Венана не должны существенно влиять на ее устойчивость. Это дает основание принять в качестве расчетной модели для этого случая пластину бесконечной длины в направлении оси .

Если граничные условия вдоль нагруженных кромок постоянны, то такая пластина будет с очевидностью выпучиваться по цилиндрической поверхности

.

Тогда уравнение (14.1) примет вид

т.е. не будет отличаться от уравнения устойчивости стержня, представляющего собой выделенную из пластины полоску единичной ширины.

Следовательно, для достаточно длинных пластин применимы результаты, полученные для стержней и, в частности, формула Эйлера

, (14.2)

где коэффициент зависит от условий на кромках

Устойчивость пластин принято оценивать не критической силой, а критическими напряжениями. Формуле (14.2) соответствует

. (14.3)

В частности, для пластины с шарнирно опертыми кромками коэффициент , и при

пластина теряет устойчивость по полуволне синусоиды .

Формулу (14.3) иногда применяют для оценки устойчивости пластин и с соизмеримыми сторонами. В этом случае погрешность идет в запас устойчивости.

Для пластин с конечным соотношением сторон точные решения задач устойчивости при однородном сжатии строятся в тех же случаях, когда они проходят и для задач изгиба.

Решение в двойных тригонометрических рядах

Аналогично решению Навье для пластины, шарнирно опертой по всем кромкам, прогиб, удовлетворяющий всем граничным условиям

представляется в виде

. (14.4)

Подставляем (14.4) в (14.1)

(14.5)

Поскольку система тригонометрических функций ортогональна в области уравнение (14.5) может выполниться только в случае, когда сумма равна нулю почленно. Кроме тривиального решения соответствующего исходной форме равновесия, отсюда следуют и нетривиальные, возможные, если равна нулю хотя бы одна из скобок. Это дает спектр собственных значений задачи

(14.6)

из которых нас интересует наименьшее. Очевидно, что наименьшее из при любом фиксированном будет при что соответствует одной полуволне в направлении, перпендикулярном сжатию. Значение же , дающее наименьшее из зависит от удлинения пластины. Здесь формулу (14.6) наглядней записывать в виде

где коэффициент

(14.7)

графически показан на рис.14.2.

При различных минимум обеспечивается разными , что соответствует разному числу полуволн в направлении сжатия. Пластина теряет устойчивость с образованием квадратных впадин - выпуклостей.

Окончательный результат обычно записывается в виде

При допустимо принимать