- •Устойчивость упругих cисtem
- •Неоднозначность состояний упругого равновесия
- •Устойчивые и неустойчивые состояния равновесия
- •Особые точки и параметры задачи
- •Линеаризованные уравнения
- •Динамический критерий устойчивости
- •Устойчивость стержней
- •Линеаризованное уравнение устойчивости сжатого стержня
- •Энергетический подход к устойчивости упругого стержня
- •Метод Релея - Ритца - Тимошенко
- •Устойчивость стержня на упругом основании
- •Устойчивость тонких пластин
- •Точные решения задач устойчивости прямоугольных пластин
- •Решение в двойных тригонометрических рядах
- •Приближенные решения задач устойчивости пластин
- •Метод Релея-Ритца
- •Устойчивость пластин при сдвиге
Динамический критерий устойчивости
До сих пор мы говорили о статической устойчивости, понимая под ней состояние, в которое система стремится возвратиться, будучи выведенной из него неким случайным воздействием. Ясно, что, возвращаясь в положение равновесия, система, вследствие инерционности, будет совершать около него некоторые колебания. Интенсивность этих колебаний (их частота) обусловлена не только соотношением между упругими и инерционными силами (распределением масс в системе), но кроме того еще и величиной нагрузки. Это можно объяснить следующими рассуждениями.
“Запас статической устойчивости”, под которым можно понимать превышение упругих сил, возвращающих систему к положению равновесия, над возмущающими силами, стремящимися вывести систему из этого положения, по мере приближения системы к критическому значению уменьшается. Это влечет за собой уменьшение частоты колебаний. В момент потери устойчивости, когда запас статической устойчивости исчерпан, возмущающие силы сначала равны восстанавливающим, а затем становятся определяющими. Случайно отклоненная система остается в отклоненном положении равновесия, если такое положение, близкое к исходному, существует, либо устремится к новому равновесия, удаленному от исходного.
Эти соображения позволяют принять характер движения системы за динамический критерий устойчивости.
Если колебания затухают, либо если эти колебания, исследуемые в линеаризованной постановке для системы без рассеяния энергии, оказываются около положения равновесия гармоническими, система устойчива. Если система, выведенная из положения равновесия, удаляется от него или совершает колебания с нарастающей амплитудой, - равновесие неустойчиво. Нагрузки, начиная с которых отклонение или амплитуда колебаний могут увеличиваться, считаются критическими.
Рассмотрим вновь Пример 1.1 но теперь с позиций динамического критерия.
Пусть погонная масса стержня распределена по закону . Тогда линеаризованное уравнение движения, в котором кроме упругой и возмущающей силы будут фигурировать также инерционные силы, запишется в виде
(4.3)
,
где - линейная, - угловая скорости, - угловое ускорение системы, - момент инерции стержня относительно опоры, а знак “минус” означает, что система, будучи отпущенной, движется в сторону, противоположную углу, то есть к вертикали.
. (4.4)
Общее решение этого уравнения при имеет вид
(4.5)
или в другой форме записи
, (4.6)
где , то есть при действительных и любых константах, определяемых из начальных условий движения, зависимость (4.6) описывает гармонические колебания около вертикального положения равновесия.
При уравнение (4.4) вырождается и имеет решение
. (4.7)
Из (4.7) ясно, что при система будет либо неподвижна в положении , либо при малейшем случайном воздействии, придавшем ей скорость , начнет двигаться. Таким образом, мы вновь нашли , причем, что существенно, эта величина не зависит от , то есть от распределения масс по длине стержня.
Наконец, при значения становятся чисто мнимыми
,
и общее решение (4.5) можно переписать в виде
или
. (4.8)
Функции (4.8) при любых константах описывает движение с экспоненциально нарастающей амплитудой, что соответствует неустойчивому равновесию.
Обратимся к примеру на Рис.4.1г. Линеаризованное уравнение в этом случае
имеет при любых , то есть при наличии пружины, решение в форме (4.6). Это означает, что положение равновесия всегда устойчиво. Вновь статический и динамический подходы привели нас к одному и тому же результату.
Усложним задачу и рассмотрим систему с двумя степенями свободы.
Пример 4.1
Чтобы рассмотреть этот пример с помощью динамического критерия, примем для простоты, что массы стержней расположены в их серединах.
Линеаризованные уравнения движения имеют вид
где
Исключив из (4.9) величины Y и X и подставив их в (4.10), имеем
Мы получили систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Отыскивая ее частное решение в форме
(4.11)
приходим к однородной системе относительно констант
Условие нетривиальности ее решения
(4.12)
Проанализируем уравнение (4.12).
Поскольку свободный член не зависит от , ясно, что нулевых корней нет. Это, означает что нет независимых от времени положений равновесия (4.11) кроме вертикального . Этого и следовало ожидать. Ведь если бы такое положение было, мы нашли бы его с помощью статического критерия.
Для того, чтобы решение имело расширяющуюся амплитуду, необходимо, чтобы корни уравнения (4.12) в общем случае комплексные
(4.13)
имели положительную действительную часть а. Подставив (4.13) в (4.12) и приравняв нулю коэффициенты при действительной и мнимой частях, получим
где а - действительный коэффициент. Следовательно, чтобы он существовал, необходимо
.
Легко видеть, что это вполне возможно. Наименьшее значение , при котором выполняется это неравенство, и будет критическим:
(4.14)
Заметим, что на динамический характер потери устойчивости существенно влияет распределение масс. При имеем . При из (4.9), (4.10) следует, что , и, следовательно, стержень устойчивости не теряет. По формуле (4.14) этому случаю соответствует .
Если бы мы учли, что массы стержней не сосредоточены, а распределены, скажем, равномерно, то значение за счет появления собственных моментов инерции оказалось бы меньшим [ 3 ]:
.
Таким образом, динамический критерий оказывается более общим.
Однако, использование этого критерия более трудоемко, и прибегать к его помощи целесообразно лишь тогда, когда статический подход не дает результата.