Энергетический подход к устойчивости упругого стержня

Запишем функционал приращения энергии Э в виде

Э = . ( 7.20)

Распишем условие . Интегрируя в нем выражения для (7.20) по частям. Получим

(7.23)

Мы получили основное вариационное уравнение устойчивости сжатого прямого стержня.

Из него в силу произвольности и независимости вариаций внутри интервала и - на его концах, вытекают основное линеаризованное уравнение устойчивости (уравнение Эйлера)

(7.24)

и естественные граничные условия

либо (7.25)

Уравнение (7.21) , где функционал Э представлен выражением (7.20), называется критерием устойчивости в форме Брайана. Характерная особенность этого критерия состоит в том, что в нем отсутствуют докритические перемещения, но присутствуют докритические усилия . Критерий Брайана позволяет получить решение задачи при любых условиях закрепления концов стержня. Но для того, чтобы им воспользоваться, необходимо предварительно решить задачу о докритическом поведении стержня.

Метод Релея - Ритца - Тимошенко

Для отыскания приближенного минимума функционала энергии можно использовать метод, известный в строительной механике под названием метода Ритца-Тимошенко.

Функция прогиба стержня ищется в виде ряда

, (7.38)

где - искомые константы, а - функции, выбранные заранее так, чтобы перемещения были возможными, то есть непрерывными и подчиняющимися кинематическим граничным условиям, в данном случае - однородным.

Воспользуемся энергетическим критерием в форме Брайана.

Подставим ряд в выражение (7.20) и, выполнив операции дифференцирования и интегрирования, получим квадратичную алгебраическую зависимость

Э = Э (7.40)

Условия стационарности этого функционала как функции n переменных имеет вид

(7.41)

Система (7.41) всегда однородна и линейна относительно . В матричной форме записи эта система имеет вид

AV+ BV =0, (7.42)

где А , В - (  ) матрицы с коэффициентами

(7.43)

Таким образом, мы пришли к задаче на собственные значения для матриц.

Условия для определения собственных значений

( A + B ) = 0 . (7.44)

Наименьший из корней уравнения (7.44) будет приближенным , причем при любом конечном n это значение будет выше точного (или по крайней мере не ниже). Этот факт легко объяснить. Ограничившись некоторым n , мы как бы навязываем стержню конечное число степеней свободы, делая его тем самым жестче рассматриваемого. Если система функций - полная, то при n  мы придем к точному решению, удовлетворяющему кроме кинематических и статическим условиям. Если среди предложенных есть и точное решение задачи, то мы в точности найдем его, а множители при остальных функциях обнулятся. Если система функций такова, что каждая из систем функций оказывается ортогональной, то система (7.42) при и распадается на независимые уравнения и дает

(7.45)

то есть для мы получаем формулу. Во всех остальных случаях процесс поиска при не слишком малых остается численным.