Варіанти виконання лабораторної роботи №5

№ п/п	Параметри флуктуаційної завади з нормальним закон розподілу		Тип інформаційного сигналу
	0	6	Відеоімпульс
	0	7	Радіоімпульс
	0	1	Відеоімпульс
	0	1,5	Радіоімпульс
	0	2	Відеоімпульс
	0	2,5	Радіоімпульс
	0	3	Відеоімпульс
	0	3,5	Радіоімпульс
	0	4	Відеоімпульс
	0	5	Радіоімпульс
	0	6	Відеоімпульс
	0	7	Радіоімпульс
	0	2	Відеоімпульс
	0	2,5	Радіоімпульс
	0	3	Відеоімпульс
	0	3,5	Радіоімпульс
	0	4	Відеоімпульс
	0	5	Радіоімпульс
	0	1	Радіоімпульс
	0	1,5	Радіоімпульс
	0	2	Відеоімпульс
	0	2,5	Радіоімпульс
	0	3	Відеоімпульс
	0	3,5	Радіоімпульс
	0	4	Відеоімпульс
	0	5	Радіоімпульс
	0	6	Відеоімпульс
	0	7	Радіоімпульс
	0	1	Радіоімпульс
	0	1,5	Відеоімпульс

Практичне заняття №6

Тема: Статистичні критерії прийняття рішення при вирішенні двухальтернативної задачі

Мета роботи: теоретично та експериментально дослідити за допомогою програмного забезпечення MathCad критерії прийняття рішення при вирішенні двухальтернативної задачі

Теоретична частина

Результатом впливу завад каналу зв’язку є часткова або повна втрата переданої інформації. Прийомний пристрій, здійснюючи обробку вхідного сигналу, що є сумою корисного сигналу й завади, повинне забезпечити добування із прийнятого сигналу можливо більшої кількості необхідної інформації.

Основне завдання приймача полягає в тім, щоб на підставі прийнятої реалізації вирішити найкращим у якомусь певному змісті способом, чи є даний сигнал у даній реалізації (завдання ідентифікації), або які параметри корисного сигналу (завдання відновлення). У зв'язку із цим повинні бути вироблені критерії, що дозволяють по прийнятому сигналі оптимальним способом вирішити поставлене завдання.

Вибір оптимального способу обробки сигналів і вироблення при цьому відповідних критеріїв складає зміст теорії статистичних рішень.

Завдання ідентифікації, полягає в тому, щоб у результаті обробки прийнятого сигналу встановити, чи міститься в ньому корисний чи сигнал ні.

Нехай прийнятий сигнал є адитивною сумою корисного сигналу й завади

.

Інформаційний сигнал може приймати два значення: і з апріорними відповідно ймовірностями й . Тому що сигнал напевно має одне із цих двох значень, те справедливе співвідношення

Таким чином, можливі дві взаємно виключають (альтернативні) гіпотези: у прийнятому сигналі міститься корисний сигнал (гіпотеза ) і відсутній корисний сигнал (гіпотеза ). Вирішальний пристрій приймача за даними вибірки повинне встановити, яка із цих гіпотез є правдоподібною.

Простір прийнятих сигналів V умовно розбивається на дві частини: область відповідному прийняттю гіпотези про те, що й область відповідному прийняттю гіпотези про те, що .

Це означає, що якщо вектор прийнятого сигналу виявиться в межах області те приймається гіпотеза . Якщо ж вектор сигналу виявиться в області , то приймається гіпотеза .

У цих умовах можуть мати місце два значення апостеріорної ймовірності : — умовна ймовірність наявності корисного сигналу X при даному значенні вибірки , — умовна ймовірність відсутності X при даному значенні вибірки .

Аналогічно можна розглядати два значення функції правдоподібності : умовна щільність імовірності вибірки при наявності корисного сигналу ; умовна щільність імовірності вибірки при відсутності .

Відношення функцій правдоподібності

прийнято називати відношенням правдоподібності.

Для вибору гіпотези або повинне бути взяте за основи певне правило прийняття рішень.

Вибір правила прийняття рішення в математичному відношенні зводиться до оптимальної розбивки простору прийнятих сигналів V на області й .

Для того щоб вибрати те або інше правило прийняття рішення, необхідно керуватися певними критеріями.

Критерій максимуму правдоподібності. Цей критерій формулюється в такий спосіб: найбільше правдоподібно те значення параметра X, для якого функція правдоподібності максимальна.

Відповідно до цього критерію у випадку двухальтернативної ситуації (виявлення сигналу) має два значення функції правдоподібності й і приймається та гіпотеза, який відповідає більше значення функції правдоподібності. Якщо, наприклад, то приймається гіпотеза . Якщо ж , то приймається гіпотеза .

Цей критерій можна записати в наступному вигляді через відношення правдоподібності:

якщо , то

при , то

Таким чином, відповідно до даного критерію методика прийняття рішення зводиться до наступного: обчислюються функції правдоподібності й , визначається відношення правдоподібності , і залежно від того, більше, дорівнює або менше одиниці приймається відповідна гіпотеза.

Критерій максимуму апостеріорної ймовірності. За цим критерієм при отриманому значенні вибірки приймається та гіпотеза, при якій апостеріорна ймовірність максимальна.

Для випадку двухальтернативної ситуації маються два значення апостеріорної ймовірності й . Звичайно розглядається відношення цих величин і правило прийняття рішення записується у вигляді:

якщо , то

якщо , то

Використовуючи формулу Байеса, виразимо відношення апостеріорних ймовірностей через відношення функцій правдоподібності

Тоді критерій максимуму апостеріорної ймовірності може бути в такий спосіб виражений через відношення правдоподібності:

якщо , то

якщо , то

Співвідношення можна представити у вигляді:

якщо , то

якщо , то

де - граничне значення відносини правдоподібності.

Таким чином, процедура прийняття рішення відповідно до критерію максимуму апостеріорної ймовірності така ж, як і відповідно до критерію максимуму правдоподібності. Відмінність полягає лише в тому, що в першому випадку відношення правдоподібності порівняється з одиницею, а в другому з відношенням апріорних ймовірностей При наявності апріорних даних і доцільно застосовувати критерій максимуму апостеріорної ймовірності, тому що при цьому є можливість користуватися додатковою інформацією, що дозволяє точніше вирішити завдання ідентифікації сигналу.

Критерій ідеального спостерігача (критерій Котельникова). Відповідно до даного критерію приймається та гіпотеза, при якій забезпечується мінімум загальної помилки прийняття рішення.

При рішенні завдання ідентифікації сигналу можуть мати місце помилки двох пологів:

1) при відсутності корисного інформаційного сигналу вектор прийнятого сигналу виявляється в області й приймається відповідно до цього гіпотеза ,

2) при наявності корисного сигналу вектор виявляється в області й приймається гіпотеза . Перша помилка називається помилкою першого роду, або «фіктивною тривогою». Друга помилка називається помилкою другого роду, або «пропуском сигналу». Кількісно помилки першого й другого роду оцінюються умовними ймовірностями й помилковими рішеннями про наявність корисного сигналу, коли в дійсності він відсутній, і про відсутність сигналу, коли в дійсності він є

Загальна безумовна ймовірність помилкового рішення визначається вираженням

Отже, умова оптимального рішення за критерієм ідеального спостерігача має вигляд

.

Цей критерій можна записати в наступному вигляді через відношення правдоподібності:

якщо , то

якщо , то

Критерій Неймана—Пірсона. Даний критерій заснований на тім, що помилки першого й другого роду не однаково небезпечні, причому помилка першого роду приводить до таких наслідків, що її ймовірність необхідно обмежити деякою дуже малою величиною. Другу помилку бажано при цьому забезпечити мінімальної.

Виходячи із цього, критерій Неймана-Пірсона можна сформулювати в такий спосіб: найкращим рішенням є таке, при якому забезпечується найменша ймовірність помилки другого роду при заданій припустимій імовірності помилки першого роду.

Отже, відповідно до критерію Неймана-Пірсона повинне бути забезпечене

при

де - наперед задана величина.

Отже, правило прийняття рішення відповідно до критерію Неймана-Пірсона може бути записане у вигляді:

якщо ,то

якщо ,то

Порядок виконання роботи

Кожен студент повинен виконати індивідуальне завдання відповідно до варіанту і зробити висновки на основі проведених теоретичних та практичних досліджень. У висновках потрібно вказати яких навичок та знань набули під час виконання індивідуального завдання .

Кожному студенту потрібно:

1. змоделювати флуктуаційну заваду з нормальним закон розподілу випадкових величин та виміряти числові характеристики;

2. змоделювати корисний інформаційний сигнал представлений у вигляді періодичної послідовності відео або радіо імпульс;

3. змоделювати адитивну суміш корисного сигналу та завади і визначивши числові характеристики адитивної суміші;

4. дослідити критерій максимуму правдоподібності, максимуму апостеріорної ймовірності, Котельнікова, Неймана-Пірсона.

Порядок вибору варіанта:

Номер варіанту завдання відповідає порядковому номеру студента в журналі (табл.6).

Таблиця 6