Варіанти виконання лабораторної роботи №3

№ п/п	Параметри флуктуаційної завади з нормальним закон розподілу		Тип інформаційного сигналу
	0	1	Відеоімпульс
	0	1,5	Радіоімпульс
	0	2	Відеоімпульс
	0	2,5	Радіоімпульс
	0	3	Відеоімпульс
	0	3,5	Радіоімпульс
	0	4	Відеоімпульс
	0	5	Радіоімпульс
	0	6	Відеоімпульс
	0	7	Радіоімпульс
	0	1	Відеоімпульс
	0	1,5	Радіоімпульс
	0	2	Відеоімпульс
	0	2,5	Радіоімпульс
	0	3	Відеоімпульс
	0	3,5	Радіоімпульс
	0	4	Відеоімпульс
	0	5	Радіоімпульс
	0	6	Відеоімпульс
	0	7	Радіоімпульс
	0	1	Відеоімпульс
	0	1,5	Радіоімпульс
	0	2	Відеоімпульс
	0	2,5	Радіоімпульс
	0	3	Відеоімпульс
	0	3,5	Радіоімпульс
	0	4	Відеоімпульс
	0	5	Радіоімпульс
	0	6	Радіоімпульс
	0	7	Відеоімпульс

Практичне заняття №4

Тема: Критерій згоди Пірсона

Мета роботи: теоретично та експериментально дослідити за допомогою програмного забезпечення MathCad критерій згоди - Пірсона.

Теоретична частина

Статистичний критерій - математичне правило, за яким приймається або відкидається та чи інша статистична гіпотеза. Побудова критерію являє собою вибір підходящої функції за результатами спостережень (ряду статистично отриманих значень), яка потрібна для виявлення розбіжності між статистичними значеннями і теоретичним. Одним з таких поширених статистичних критеріїв є критерій згоди Пірсона. Розглянемо питання про узгодженість теоретичного та статистичного розподілу.

Припустимо, що заданий статистичний розподіл випадкової величини X вирівняно за допомогою деякої теоретичної кривої . Як би добре не була підібрана теоретична крива, між нею та статистичними розподілом неминучі розбіжності. Тому порівняння емпіричного і теоретичного розподілів проводиться за допомогою спеціально підібраної випадкової величини - критерію згоди.

На основі отриманих статистичних даних потрібно перевірити гіпотезу , яка полягає в тому, що випадкова величина підпорядковується деякому закону розподілу випадкових величин. Цей закон може бути заданий у тій чи іншій формі: наприклад, у вигляді функції розподілу або у вигляді щільності розподілу , або ж у вигляді сукупності ймовірностей , де - імовірність того, що величина потрапить до межі -го розряду.

Для того щоб прийняти або відхилити гіпотезу , розглянемо деяку величину , яка характеризує ступінь розбіжності теоретичного та статистичного розподілів.

Величина може бути вибрана різними способами; наприклад, в якості можна взяти суму квадратів відхилень теоретичних ймовірностей від відповідних частот , або ж максимальне відхилення статистичної функції розподілу від теоретичної або ж максимальне відхилення статистичної щільності розподілу від теоретичної і т. д.

Припустимо, що величина обрана тим або іншим способом. Очевидно, це є деяка випадкова величина. Закон розподілу цієї випадкової величини залежить від закону розподілу випадкової величини , над якою проводилися досліди, і від числа дослідів . Якщо гіпотеза вірна, то закон розподілу величини визначається законом розподілу величини (функцією або щільністю ) та числом .

Припустимо, що цей закон розподілу нам відомий. У результаті даної серії дослідів виявлено, що обрана нами міра розбіжності прийняла деяке значення . Для відповіді на це питання розбіжності між теоретичним і статистичними розподілами приймемо, що гіпотеза вірна, і обчислимо в цьому припущенні ймовірність того, що міра розбіжності виявиться не менше, ніж спостереження в досліді значення , тобто розрахуємо ймовірність події:

Якщо це ймовірність досить мала, то гіпотезу слід відкинути як мало правдоподібну, коли ж ця ймовірність значна, слід визнати, що експериментальні дані не суперечать гіпотезі .

Розглянемо один з найбільш часто застосовуваний на практиці критеріїв згоди - так званий критерій Пірсона.

Критерій Пірсона - використовується для перевірки гіпотези про закон розподілу випадкової величини. У багатьох практичних задачах точний закон розподілу невідомий, тобто є гіпотезою , яка вимагає статистичної перевірки.

Припустимо, що зроблено незалежних дослідів, у кожному з яких випадкова величина прийняла певне значення. Результати дослідів зведені в розрядів і представлені у вигляді статистичного ряду:

Ii	x1; x2	x2; x3	…	xk; xk+1
			…

Потрібно перевірити, чи узгоджуються експериментальні дані з гіпотезою про те, що випадкова величина X має цей закон розподілу (заданий функцією розподілу або щільністю ). Назвемо цей закон розподілу «теоретичним».

Знаючи теоретичний закон розподілу, можна знайти теоретичні ймовірності попадання випадкової величини в кожен з розрядів :

Перевіряючи узгодженість теоретичного та статистичного розподілів, ми будемо виходити з розбіжностей між теоретичними ймовірностями і спостереженими частотами .

Первинно в якості розбіжності між теоретичним і статистичним розподілами можна вибрати суму квадратів відхилень ( ), взятих з деякими «вагами» :

(4.1)

Коефіцієнти («ваги» розрядів) вводяться тому, що в загальному випадку відхилення, пов'язані з різним розрядами, не можна вважати рівноправними по значимості. Тому природно «ваги» взяти обернено пропорційними ймовірностям розрядів . Далі виникає питання про те, як вибрати коефіцієнт пропорційності.

Приймемо за коефіцієнт

(4.2)

то при великих закон розподілу величини має досить прості властивості: він практично не залежить від функції або щільністю розподілу і від числа дослідів , а залежить тільки від кількості розрядів , а саме, цей закон при збільшенні наближається до так званого «розподілу »

При такому виборі коефіцієнтів - міра розбіжності зазвичай позначається :

, (4.3)

де , — число значень в -ому розряді.

Розподіл залежить від параметра – число «ступенів свободи» розподілу.

Для розподілу складені спеціальні таблиці. Користуючись цими таблицями, можна для кожного значення і числа ступенів свободи знайти ймовірність того, що величина, розподілена за деяким законом, тобто дозволяє знайти погодженість між теоретичним та статистичним розподілом .

Порядок виконання роботи

Кожен студент повинен виконати індивідуальне завдання відповідно до варіанту і зробити висновки на основі проведених теоретичних та практичних досліджень. У висновках потрібно вказати яких навичок та знань набули під час виконання індивідуального завдання .

Кожному студенту потрібно:

1. змоделювати флуктуаційну заваду з нормальним закон розподілу випадкових величин та виміряти числові характеристики;

2. змоделювати корисний інформаційний сигнал представлений у вигляді періодичної послідовності відео або радіо імпульс;

3. змоделювати адитивну суміш корисного сигналу та завади івизначивши числові характеристики адитивної суміші;

4. побудувати гістограми для отриманих адитивної суміші, завади та інформаційного сигналу;

5. дослідити за допомогою критерію Пірсона узгодженість теоретичного та статистичного розподілу випадкових величин (теоретичний розподіл – щільність розподілу ймовірності корисного інформаційного сигналу, а статистичний – щільність розподілу аддитивної суміші).

Порядок вибору варіанта:

Номер варіанту завдання відповідає порядковому номеру студента в журналі (табл.4).

Таблиця 4