1.3 Динамические свойства элементов

Поведение выходного сигнала на этапе переходного процесса (рис. 3) отображает динамические свойства этого элемента. Знание динамических свойств элемента становится необходимым при исследовании поведения системы в целом, при взаимодействии всех элементов между собой в процессе функционировании системы. Именно описание динамических свойств отдельных элементов используется в теории автоматического управления для исследования динамики всей системы.

Наиболее полным, точным и подробным описанием динамических свойств является дифференциальное уравнение, связывающее выходной и входной сигнал. Для получения дифференциального уравнения необходимо с помощью соответствующих физических законов описать процесс функционирования элемента.

Это уравнение в общем случае может быть нелинейным и нестационарным

(1)

Исследование процессов в нелинейном элементе, а тем более в системе, состоящей из нелинейных элементов сложно в математическом отношении, возможно в большинстве случаев только в числовой форме и дает результат в виде отдельных частных решений. Гораздо более содержательные результаты о свойствах системы позволяет получить линейная теория автоматического управления. Поэтому обязательно предпринимается попытка провести линеаризацию исходного дифференциального уравнения. Как отмечалось при описании приемов линеаризации, для получения возможности распространить результаты, полученные при исследовании линеаризованной системы, на исходную нелинейную систему, линеаризацию следует выполнять с помощью разложения в ряд Тейлора.

Если линеаризация исходного нелинейного дифференциального уравнения (1) успешно проведена, динамику элемента будет описывать линейное дифференциальное уравнение соответствующего порядка

(2).

Это дифференциальное уравнение также является точным (в рамках проведенной линеаризации) описанием динамических свойств элемента.

Если коэффициенты полученного линейного дифференциального уравнения являются константами, не зависящими от времени, уравнение называется стационарным и к нему можно эффективно применить преобразование Лапласа.

Полезной особенностью преобразования Лапласа является то, что дифференциальные соотношения превращаются в алгебраические. Напомним: если для некоторого процесса z(t) известно его преобразование по Лапласу Z(p) = L(z(t)), то преобразование от первой производной по времени определяется простой формулой

.

Произведя преобразование Лапласа над полученным выше линейным дифференциальным уравнением (2) при нулевых начальных условиях, получим

(3)

Поскольку полученное выражение (3) является алгебраическим, его можно записать в виде

(4)

Здесь Y(p) – изображение по Лапласу выходного сигнала, а X(p) – входного сигнала.

Для удобства дальнейшего применения полученного выражения, преобразуем его к виду

Удобство этого представления заключается в том, что в правую часть не входят входной и выходной сигналы, и она определяется только свойствами элемента.

В линейной теории автоматического управления широко применяется аппарат передаточных функций. Передаточная функция это отношение изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях

,

следовательно (5)

Передаточная функция является еще одним и очень эффективным способом описания динамических свойств элемента.

Зная передаточную функцию элемента W(p), можно перейти к другому, не менее удобному способу описания динамических свойств. Если в передаточной функции произвести замену переменной p на комплексную частоту

,

выражение передаточной функции можно привести к виду

.

Выражение W(jω) называется комплексной частотной характеристикой, а U(ω) и V(ω) – соответственно ее вещественной и мнимой частями (рис.10а).

Комплексную частотную характеристику можно представить в показательной форме

, (6)

где - амплитудно – частотная характеристика (рис.10б),

- фазо – частотная характеристика. (рис.10в)

Амплитудно- и фазо– частотные характеристики также являются вариантами описания динамических свойств элемента.

Рис.10

Частотные характеристики

Для удобства анализа и применения частотных характеристик в теории автоматического управления, электротехнике и электронике применяются частотные характеристики, представленные в логарифмическом масштабе:

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАХ) и логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФХ), представлены на рис.11.

На логарифмической амплитудной частотной характеристике (ЛАХ) по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе (log(w)). Интервал по оси абсцисс равный одной декаде соответствует изменению частоты в десять раз. Это позволяет удобно отобразить широкий интервал частот. По оси ординат откладывается в логарифмическом масштабе зависимость . L(w) измеряется в децибелах. (20 децибел – усиление в 10 раз, 40 децибел – усиление в 100 раз, -20 децибел – ослабление в 10 раз).

L(w)

-3дб

Рис.11

Логарифмические частотные характеристики

На логарифмической фазовой частотной характеристике (ЛФХ) также как и на ЛАХ по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе (log(w)). По оси ординат откладывается величина сдвига фазы выходного сигнала относительно входного .

Для линейных элементов все эти варианты описания динамических свойств: линейное дифференциальное уравнение, передаточная функция и частотные характеристики являются равноценными и могут пересчитываться из одного вида в другой.

Представление динамических свойств в форме частотных характеристик удобно тем, что кроме расчета они могут быть получены экспериментальным путем в том случае, когда не известно устройство элемента (метод «черного ящика»). Для получения частотных характеристик экспериментальным путем на вход элемента от специального генератора подается синусоидальный входной сигнал

,

а на выходе регистрируется выходной сигнал

Отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала на частоте ω дает точку амплитудно – частотной характеристики

,

а сдвиг по фазе Θ выходного сигнала относительно входного дает точку фазо – частотной характеристики . Проведя ряд экспериментов на различных частотах ω, можно построить частотные характеристики исследуемого элемента. При необходимости, полученные частотные характеристики можно представить в форме ЛАХ и ЛФХ.

В некоторых случаях необходимо кратко, одним – двумя числами, охарактеризовать динамические свойства элемента. Это бывает полезно для предварительной оценки применимости рассматриваемого элемента в конкретной системе.

Одной из таких кратких характеристик, широко применяемых на практике, является полоса пропускания f_ПР. Границы полосы пропускания определяются по амплитудно–частотной характеристике как интервал частот, в пределах которого модуль амплитудно–частотной характеристики уменьшается не более чем в 1,41 раза ( -3 дб в случае ЛАХ), как показано на рис. 11.

Другая, также часто используемая краткая характеристика динамических свойств элемента – время переходного процесса t_П (см. рис. 3). Между временем переходного процесса и величиной полосы пропускания существует взаимно - обратная зависимость

Общее свойство – чем шире полоса пропускания, тем меньше время переходного процесса у рассматриваемого элемента. Это позволяет оценивать применимость элемента для решения определенной технической задачи, например – для построения электронного устройства, обеспечивающего время переходного процесса t_П ≤ 0,0001 сек, нет смысла использовать электронные компоненты (транзисторы, диоды и т.д.) с полосой пропускания менее 10 – 50 кгц.

Для нелинейных элементов частотные характеристики являются менее удобным инструментом описания динамических свойств, поскольку при подаче на вход нелинейного элемента гармонического сигнала частотой ω на выходе будет существовать сигнал, содержащий целый спектр гармоник, и отношение амплитуд входного сигнала и этих гармоник будет зависеть от величины входного сигнала. В теории автоматического управления для исследования некоторых свойств нелинейных систем, в частности определения параметров возникающих в системе автоколебаний, применяется метод гармонической линеаризации. В этом методе для описания свойств нелинейного элемента используется специфическая частотная характеристика, в которой учитывается только первая гармоника сложного выходного сигнала.

Краткой характеристикой динамических свойств нелинейных элементов, в первую очередь релейных, служит время включения t_ВКЛ и время выключения t_ВЫКЛ.- время за которое элемент переходит из одного состояния в другое.