Питання для самоконтролю
Сформулювати теореми додавання ймовірностей для несумісних і сумісних подій.
Які випадкові події називаються:
а) незалежними в сукупності;
б) попарно незалежними?
Дати означення умовної ймовірності випадкової події.
Сформулювати теореми множення ймовірностей для залежних і незалежних подій.
Записати формулу обчислення ймовірності появи принаймні однієї з п несумісних подій.
Завдання 2
Для отримання кредиту підприємець звертається до двох банків. Ймовірність того, що перший банк не відмовить йому в наданні кредиту, становить 0,7, другий – 0,85. Знайти ймовірність того, що: а) перший або другий банк дасть згоду на кредитування; б) обидва банки відмовляться надати кредит.
Ймовірність того, що ціна окремої акції зростатиме протягом ділового дня дорівнює 0,4. Якщо природа зміни ціни будь-якого дня є незалежною від того, що сталося попереднього дня (днів), то яка ймовірність того, що ціна: а) зростатиме чотири дні підряд? б) зростатиме два з трьох днів?
З партії виробів товарознавець навмання відбирає вироби вищого сорту. Ймовірність того, що вибрана річ виявиться вищого сорту дорівнює 0,8; першого сорту – 0,7; другого сорту – 0,5. Знайти ймовірність того, що з трьох наугад відібраних виробів будуть: а) лише два вищого сорту; б) всі різні.
У двох із 14 складених касиром рахунків є помилки. Ревізор вирішив перевірити навмання 5 рахунків. Яка ймовірність, що помилки будуть виявлені менш ніж в двох?
Два бухгалтери обробляють рівну кількість рахунків. Ймовірність того, що перший бухгалтер допустить помилку, дорівнює 0,005, для другого ця ймовірність дорівнює 0,01. Знайти ймовірність того, що при перевірці рахунків: а) лише перший бухгалтер допустив помилку; б) помилки допущені не були.
Податкова декларація на прибуток може перевірятися районною або обласною податковою адміністрацією. Ймовірність того, що податкова декларація перевірятиметься обласною адміністрацією – 0,05, районною – 0,04. Рішення щодо перевірки на обласному і районному рівнях приймаються незалежно: а) яка ймовірність бути перевіреним обома адміністраціями? б) яка ймовірність пройти тільки районну перевірку? в) яка ймовірність не бути перевіреним?
Ймовірність отримати прибуток з акцій компаній А, В і С для акціонера відповідно дорівнюють 0,6; 0,7; 0,5. Знайти ймовірність того, що: а) лише один вид акцій складе прибуток акціонера, б) хоча б один вид акцій принесе прибуток їх володареві.
Ймовірність банкрутства для першої фірми це додатний розв’язок рівняння
для другої фірми ця ймовірність на 25 %
більша. Знайти
ймовірність того, що із двох фірм
збанкрутує: а) лише одна, б) хоча б одна.Ймовірність своєчасної сплати податків для першого підприємства дорівнює 0,8, для другого 0,6, для третього 2/3. Визначити ймовірність своєчасної сплати податків а) не більше ніж одним підприємством; б) тільки одним підприємством.
В об’єднання входять три підприємства. Ймовірність виконати план для першого підприємства дорівнює 0,8, для другого – 0,9, для третього – 0,85. Знайти ймовірність таких подій: а) договір виконає лише одне підприємство; б) договір виконають всі підприємства.
Ймовірність прибуткової діяльності для першої фірми дорівнює 0,7, для другої 0,5, для третьої ця ймовірність у три рази менша від суми ймовірностей для першої та другої фірм. Знайти ймовірність того, що прибутковими будуть а) дві фірми; б) хоча б одна фірма.
На курсах підвищення кваліфікації бухгалтерів навчають визначати правильність оформлення накладної. Для перевірки викладач пропонує перевірити 12 накладних, 5 з яких містять помилки. Навмання вибирають три накладних. Яка ймовірність того, що з трьох накладних не менше двох з помилками?
Надійність першого банку – 0,95; для другого – 0,8; для третього – 0,85. Підприємець зробив вклад в усі три банки. Знайти ймовірність того, що підприємцеві повернуть вклад: а) два банки; б) хоча б один банк.
Ймовірність виконання договору для першого підприємства становить 3/5, для другого ця ймовірність є розв’язком рівняння
Визначити ймовірність виконання
договору: а) одним підприємством; б)
хоча б одним підприємством.Ймовірність повного розрахунку за енергоносії для першого заводу дорівнює 0,5, для другого на 20 % більша. Знайти ймовірність своєчасної сплати за енергоносії: а) одним заводом; б) двома заводами.
Ймовірність виконання договору для першої фірми є розв’язком рівняння
,
для другої ця ймовірність дорівнює
0,8. Яка ймовірність
виконання договору не більше ніж однією
фірмою? Обома фірмами?Ймовірність повної сплати податків для першого підприємства 4/5, для другого ця ймовірність задовольняє рівнянню
.
Знайти ймовірність повної сплати
податків одним підприємством.Ймовірність банкрутства для першої фабрики дорівнює 0,2, для другої на 50 % більша ніж для першої, для третьої дана ймовірність є розв’язком рівняння
.
Визначити ймовірність банкрутства
тільки однієї фабрики.Ймовірність виконання договору для першого підприємства 2/5, для другого 0,8, для третього ця ймовірність становить 60 % від суми ймовірностей першого та другого підприємств. Знайти ймовірність виконання договору тільки двома підприємствами.
Ймовірність того, що в певний день торгівельній базі буде потрібна двухтонна машина, дорівнює 0,9, п'ятитонна – 0,7. Визначити ймовірність того, що торгівельній базі буде потрібна: а) двухтонна і п'ятитонна машина; б) жодна з них; в) хоча б одна автомашина.
Перша фірма може одержати заданий прибуток з ймовірністю 0,7, для другої ця ймовірність є розв’язком рівняння
Визначити ймовірність одержання
заданого прибутку: а) принаймні однією
фірмою, б) тільки однією фірмою.Ймовірність ліквідації заборгованості для першого заводу дорівнює 6/7, для другого 3/4, для третього 0,8. Знайти ймовірність ліквідації заборгованості хоча б двома заводами.
Ймовірність того, що податкова інспекція пред'явить штраф першому підприємству – 0,2, другому – 0,3, третьому – 0,15. Знайти ймовірність того, що будуть оштрафовані: а) три підприємства; б) два підприємства.
Технологічний процес складається з декількох операцій. Ймовірність того, що під час першої операції виріб отримає пошкодження, дорівнює 0,1, а під час другої операції – 0,05. Яка ймовірність того, що після двох операцій виріб виявиться а) пошкодженим; б) непошкодженим?
Банк може видати кредит одному з трьох клієнтів з ймовірністю
відповідно. Знайти ймовірність того,
що кредит отримає: а) лише один клієнт;
б) усі клієнти.Ймовірність своєчасного складання звіту для першого економіста дорівнює 0,9, для другого ця ймовірність є додатним коренем рівняння
Яка ймовірність несвоєчасного складання
звіту двома економістами.Заводом відправлена автомашина за різними матеріалами на чотири бази. Ймовірність наявності потрібного матеріалу на першій базі дорівнює 0,9, на другій – 0,95, на третій – 0,8, на четвертій – 0,6. Знайти ймовірність того, що лише на одній базі не виявиться потрібного матеріалу.
Ймовірності своєчасного повернення кредитів кожним з трьох позичальників банку відповідно дорівнюють: 0,6; 0,9; 0,7. Знайти ймовірність наступних подій: а) лише два позичальники повернуть кредит своєчасно; б) хоча б один з позичальників поверне кредит своєчасно.
Ймовірності виконання договору для першого та другого підприємств задовольняють системі рівнянь
Знайти ймовірність виконання договору тільки одним підприємством.
В об’єднання входять три підприємства. Ймовірність виконати план для першого підприємства дорівнює 0,8, для другого – 0,9, для третього – 0,85. Знайти ймовірність таких подій: а) договір виконують 2 підприємства; б) договір не виконає жодне підприємство.