· Правило Крамера.

Почнемо розгляд з найпростішого випадку, коли число рівнянь в СЛАР дорівнює числу невідомих і, крім того, будемо вважати, що рівняння лінійно незалежні (це означає, що стрічки основної матриці системи є лінійно незалежними). У випадку, коли для лінійної незалежності рівнянь системи достатньо вимагати, щоб детермінант матриці системи був відмінним від нуля.

1.78. Теорема. Правило Крамера. СЛАР з n рівнянь відносно n невідомих.

у випадку, коли визначник матриці системи відмінний від нуля, має єдиний розв’язок, який визначається наступним чином , де – детермінант матриці системи, а – детермінант матриці, отриманої з матриці системи шляхом заміни і-ого стовпчика на стовпчик вільних членів, тобто

Добавимо зверху до розширеної матриці системи, яка має розміри довільну її стрічку, номер якої j. В результаті маємо квадратну матрицю порядку , в якій дві стрічки співпадають, тому її визначник дорівнює нулю. Обчислимо цей визначник, розклавши його за 1-ою стрічкою

.

Тут – детермінант матриці, отриманої з розширеної матриці системи А* викреслюванням і-ого стовпчика. Так як , то

, ,

якщо ввести формальне позначення , тоді

,

таким чином визначений набір чисел задовільняє рішенню системи. Суттєво, що числа не залежать від j, а тому задовільняють всім рівнянням системи, тобто є її розв’язком. Існування розв’язку доведено.

Приведемо вираз для до потрібного вигляду, переставивши в визначнику останній стовпчик b на і-е місце, тобто поміняємо місцями цей стовпчик послідовно з стовпчиками з номерами . Всього потрібно перестановок, тому

.

Доведемо єдиність отриманого розв’язку методом від противного. Нехай є два розв’язки системи і . Запишемо систему у вигляді :

або ,

де – стовпчики матриці системи, – стовпчик вільних членів. Результат підстановки розв’язків і в систему має вигляд

отже

Якщо розв’язки не співпадають, то хоча б одна з різниць , відмінна від нуля, а це означає, що стовпчики є лінійно залежні, а цього бути не може, тому що з самого початку припускались, що . Зауважимо, що не використовувалось співпадання числа рівнянь і числа невідомих, тобто по суті доведено більш сильне твердження: якщо стовпчики матриці є лінійно незалежні, то система не може мати двух різних розв’язків.

Це твердження стане особливо прозорим після доведення теореми Кронекера-Капеллі в наступному параграфі.

1.79. Теорема. Кожна квадратна матриця з детермінантом, відмінним від нуля, має обернену матрицю, і притому тільки одну.

Дійсно, при любому j стовпчик х_j матриці Х повинен задовільняти умові , де – j-ий стовпчик одиничної матриці, тобто

Згідно правилу Крамера ця система рівнянь має єдиний розв’язок, отже кожен стовпчик матриці однозначно визначений.

З властивостей оберненої матриці

, , , , .

Можна розв’язувати систему і методом Гауса. Так як , то елементарними перетвореннями можемо перетворити матрицю А в одиничну матрицю. При цьому стовпчик вільних членів перетвориться в розв’язки системи , в яких в цьому випадку відсутні параметричні невідомі. При різних j системи рівнянь відрізняються тільки стовпчиками вільнмх членів. Тому елементарні перетворення стрічок розширеної матриці одні і ті ж при любих j. Ми можемо розв’язувати всі системи одночасно, приписавши до А стовпчики вільних членів всіх систем :

Якщо ми при допомозі елементарних перетворень стрічок матриці перетворимо її ліву половину в одиничну матрицю, то при цьому її права половина перетвориться в матрицю .