- •§ 2. Детермінант матриці
- •Властивості детермінантів
- •§ 3. Методи обчислення детермінантів матриць.
- •· Метод приведення до трикутного вигляду.
- •· Метод рекурентних співвідношень.
- •1.45. Приклад.
- •1.46. Приклад.
- •· Метод представлення визначника у вигляді суми визначників
- •1.47. Приклад.
- •· Метод заміни елементів визначника.
- •§ 4. Мінори. Мінори довільного порядку. Ранг матриці.
- •· Мають місце наступні теореми про базисний мінор
- •§ 5 Множення матриць. · Властивості множення матриць.
- •1.61. Приклад.
- •§ 6. Елементарні перетворення як множення матриць. Детермінант добутку.
- •§ 7. Система лінійних алгебраїчних рівнянь.
- •· Правило Крамера.
- •§ 8. Загальна теорія лінійних систем.
- •§ 9. Критерій Фредгольма.
- •§ 10. Знаходження розв’язків слар.
- •§ 11. Множина розв’язків однорідної системи. Загальний розв’язок системи лінійних рівнянь.
· Мають місце наступні теореми про базисний мінор
1.55. Теорема. В довільній матриці кожен стовпчик є лінійною комбінацією базисних стовпчиків, а кожна стрічка – лінійною комбінацією базисних стрічок.
Для доведення достатньо згадати метод Гауса приведення матриці до спрощеного вигляду – до небазисних стрічок додавались базисні і в результаті отримували нульову стрічку.
1.56. Наслідок. Якщо А – квадратна матриця і , то хоча б один з стовпчиків є лінійною комбінацією інших стовпчиків, а одна з стрічок – лінійна комбінація інших стрічок.
1.57. Теорема. Ранг матриці А дорівнює максимальному числу лінійно незалежних стовпчиків цієї матриці.
Якщо , то всі стовпчики є нульові і немає ні одного лінійно незалежного стовпчика. Нехай . Покажемо, що в А існує r лінійно незалежних стовпчиків. Дійсно, розглянемо складену з елементів матриці А матрицю порядку r, детермінантом якої є базисний мінор. Стовпчики представляють собою частини стовпчиків А. Якби стовпчики в А, в яких розташований базисний мінор, були лінійно залежні, то були б лінійно залежні і стовпчики і базисний мінор дорівнював би нулю.
Доведемо, що любі р стовпчиків матриці А лінійно залежні, якщо . Складемо матрицю В з цих р стовпчиків. Очевидно, що , тобто кожен мінор матриці В є мінором матриці А, отже , a . Так як , то хоча б один із стовпчиків матриці В не входить в базисний мінор, а отже є залежним. Аналогічно доводиться, що ранг матриці дорівнює максимальному числу лінійно незалежних стрічок.
Очевидно, що ранг матриці не змінюється при її транспонуванні.
1.58. Приклад. Знайти ранг матриці
.
Скористаємося тим, що елементарні перетворення не змінюють ранг матриці. Крок 1 – до 2-ої і 3-ої стрічок додаємо 1 стрічку, помножену відповідно на і . Отримаємо
Аналізуємо частину отриманої матриці, яка знаходиться нижче 1-ої стрічки і правіше 1-го стовпчика. Відмінний від нуля елемент знаходиться на перетині 2-ої стрічки і 3-го стовпчика, тому крок 2 – до 3-ої стрічки додаємо 2-гу стрічку, домножену на і отримуємо
Оскільки в отриманій матриці нижче другої стрічки і правіше третього стовпчика відмінних від нуля елементів немає, то .
§ 5 Множення матриць. · Властивості множення матриць.
Операція множення матриць означена тільки для такої впорядкованої пари матриць, в якій кількість стовпчиків першої матриці збігається з кількістю стрічок другої матриці.
1.59. Означення. Добутком матриці розмірів на матрицю розмірів називається матриця розмірів елементи якої пов’язані з елементами та матриць та наступним чином:
, де ; .
1.60. Приклад. Нехай дана матрична-стрічка довжини , а саме і матричний стовпчик висоти . Добуток є матриця розміром , єдиний елемент якої згідно з означення операції множення матриць визначається як: . Добуток є матриця розмірів елементами якої є всеможливі добутки , де .
Означення операції множення матриць дозволяє ввести для будь-якої квадратної матриці операцію піднесення до степеню , тобто .
1.61. Приклад.
Очевидно
1.62. Припущення. -ий стовпчик матриці є лінійною комбінацією стовпчиків матриці з коефіцієнтами, рівними елементам -ого стовпчика матриці .
Нехай матриця має розміри , а матриця – , тоді матриця матиме розмір . Запишемо як матрицю-стрічку елементами якої є її стовпчики . Тоді матрицю можна також записати як матрицю-стрічку, стовпчики якої визначаються так:
=
.
Звідки слідує, що -ий стовпчик матриці є .
1.63. Припущення. -та стрічка матриці є лінійна комбінація стрічок матриці з коефіцієнтами, рівними елементам -ої стрічки матриці .
Записуючи матриці і у вигляді матриць-стовпчиків висоти і доводимо аналогічно попередньому.
1.64. Властивість. Множення матриць не комутативно, тобто в загальному , наприклад перемножимо матриці Паулі:
Різницю називають комутатором матриць та і позначають . Суму називають антикомутатором і позначають . Очевидно
.
Безпосередньо множенням матриць можна переконатись, що
За допомогою символу Леві-Чевіта комутативні співвідношення можна записати таким чином , де , а за допомогою символу кронекера всі антикомутаційні співвідношення записуються так
.
Якщо які-небудь матриці А та В задовільняють співвідношенню А В = В А, то такі матриці називають перестановочними. Одинична матриця порядку n є перестановочною з любою квадратною матрицею того ж порядку, тобто . Які б не були А та В, якщо О – нульова матриця, то , .
1.65. Властивість. Множення матриць асоціативно, тобто якщо визначені добутки АВ і (АВ)С, то визначені добутки ВС і А(ВС), і виконується рівність (АВ)С = А(ВС).
Нехай матриці А, В, С мають розміри , i відповідно. Якщо добуток АВ визначено, то і добуток АВ має розміри , тому якщо визначено добуток (АВ)С, то . Матриця АВ складається з елементів
( ; ),
.
Але, оскільки , то визначено добуток матриць ВС, елементи якого
.
Оскільки висота стовпчика (кількість стрічок) матриці дорівнює , тобто довжинi стрічки матриці А, то визначено добуток А(ВС), елементи якого мають вигляд
.
1.66. Властивість. Множення матриць дистрибутивно по відношенню до додавання, тобто, якщо має зміст вираз , то .
Очевидно, що В і С мають одинакові розміри , А – розмір (р – довільне). Ця сума може бути представлена у вигляді
,
де ( , ).
1.67. Властивість. Якщо добуток АВ має зміст, то .
1.68. Властивість. Ранг добутку двох матриць не перевищує рангів співмножників.
Для доведення розглянемо матрицю D , складену з усіх стовпчиків матриць А та АВ. Запишемо її символічно . Очевидно, що Згідно припущення 1.61 стрічки АВ є лінійними комбінаціями стовпчиків А, тому , таким чином маємо . Аналогічно доводиться, що
1.69. Властивість. Якщо визначено добуток АВ, то визначено і добуток ВТАТ і виконується рівність (АВ)Т = ВТАТ.
Нехай матриці А та В мають розміри і . В матриці АВ на перетині і-ої стрічки та j–го стовпчика знаходиться елемент , ( ). j-та стрічка матриці ВТ складається з елементів , а і-ий стовпчик матриці – з елементів , тому добуток визначений і в ньому на перетині j–ої стрічки і і-го стовпчика є елемент , що збігається з .
1.70. Наслідок. Якщо визначено добуток АВС, то , в силу .
1.71. Означення. Матриця , що з деякою заданою матрицею задовільняє рівності (де – одинична матриця деякого порядку ), називається оберненою для і позначається .
Так як і перестановочні, то вони обидві повинні бути квадратними того ж порядку . Так як , то матриця може мати обернену тільки тоді, коли її визначник відмінний від нуля.