
- •§ 2. Детермінант матриці
- •Властивості детермінантів
- •§ 3. Методи обчислення детермінантів матриць.
- •· Метод приведення до трикутного вигляду.
- •· Метод рекурентних співвідношень.
- •1.45. Приклад.
- •1.46. Приклад.
- •· Метод представлення визначника у вигляді суми визначників
- •1.47. Приклад.
- •· Метод заміни елементів визначника.
- •§ 4. Мінори. Мінори довільного порядку. Ранг матриці.
- •· Мають місце наступні теореми про базисний мінор
- •§ 5 Множення матриць. · Властивості множення матриць.
- •1.61. Приклад.
- •§ 6. Елементарні перетворення як множення матриць. Детермінант добутку.
- •§ 7. Система лінійних алгебраїчних рівнянь.
- •· Правило Крамера.
- •§ 8. Загальна теорія лінійних систем.
- •§ 9. Критерій Фредгольма.
- •§ 10. Знаходження розв’язків слар.
- •§ 11. Множина розв’язків однорідної системи. Загальний розв’язок системи лінійних рівнянь.
ЗМІСТ
Частина 1. Матриці 5
§ 1. Основні поняття та визначення. Лінійні операції над матрицями. Матриці-стовпчики і матриці-стрічки. Транспонування матриць 5
§ 2. Детермінант матриці 11
§ 3. Методи обчислення детермінантів матриць 17
§ 4. Мінори. Мінори довільного порядку. Ранг матриці 24
§ 5. Множення матриць 28
§ 6. Елементарні перетворення як множення матриць. Детермінант добутку 31
§ 7. Система лінійних алгебраїчних рівнянь 33
§ 8. Загальна теорія лінійних систем 36
§ 9. Критерій Фредгольма 37
§ 10. Знаходження розв’язків СЛАР 39
§ 11. Множина розв’язків однорідної системи. Загальний розв’язок системи лінійних рівнянь 39
Частина 2. Векторні простори 45
§ 12. Вступні зауваження 45
§ 13. Поняття вектора, означення векторного простору 47
§ 14. Приклади векторних просторів 48
§ 15. Найважливіші наслідки з означення векторного простору 50
§ 16. Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори 51
§ 17. Приклади лінійно залежних та лінійно незалежних векторів 52
§ 18. Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних векторів 52
§ 19. Вимірність векторного простору 53
§ 20. Базис у скінченновимірному векторному просторі 55
§ 21. Координати вектора 56
§ 22. Основні властивості координат вектора 57
§ 23. Заміна базису 58
§ 24. Приклади застосування методу координат у фізиці 60
Частина 3. Векторні простори зі скалярними добутками 64
§ 25. Скалярний добуток геометричних векторів 64
§ 26. Простір Евкліда 66
§ 27. Ортонормовані системи векторів 69
§ 28. Матриця Грама 71
§ 29. Лінійна залежність та незалежність векторів у просторі Евкліда 75
§ 30. Взаємні базиси 76
§ 31. Унітарний простір 82
Частина 4. Векторний добуток векторів та пов'язані з ним добутки 86
§ 32. Векторний добуток геометричних векторів 86
§ 33. Мішаний добуток та подвійний векторний добуток геометричних векторів 88
§ 34. Добутки векторів у тривимірному просторі Евкліда 92
§ 35. Обчислення мішаних і векторних добутків векторів, заданих у довільних базисах 95
§ 36. Символи Леві – Чивіта. 99
Частина 5. Системи координат, векторна алгебра в криволінійних координатах 103
§ 37. Загальна декартова система координат 103
§ 38. Спеціальні системи координат 107
§ 39. Локальні базиси криволінійних систем координат 112
§ 40. Фізичний базис та фізичні координати векторів 117
§ 41. Ортогональні криволінійні системи координат 119
§ 42. Довідкові формули для спеціальних систем координат 121
§ 43. Обчислення добутків векторів у криволінійних системах координат 122
Додаток 1. Пояснення деяких символів та символічних записів 123
Додаток 2. Уявлення про афінний простір 124
Література 128
Частина 1
МАТРИЦІ
§ 1. Основні поняття та визначення. Лінійні операції над матрицями. Матриці-стовпчики і матриці-стрічки. Транспонування матриць.
Основні поняття та визначення.
1.1.
Означення.
Матрицею розмірів
,
(тут
)
назвемо сукупність
виразів, розташованих у вигляді таблиці
з m
стрічок та n
стовпчиків.
=
Вирази, які складають матрицю, називаються елементами матриці. В загальному випадку елементи матриці можуть мати довільну природу – це можуть бути дійсні або комплексні числа, символи, функції і т.д.
Якщо
число
стрічок
в
матриці дорівнює числу стовпчиків, то
матриця називається квадратною,
а
число стрічок – порядком
матриці.
Інші
матриці носять назву прямокутних.
Матриці складаються з m
стрічок та n
стовпчиків,
тому їх часто називають
матрицями. Для
матриці
можна використовувати коротке позначення
,
а якщо розміри матриці обумовлено
завчасно, то не вказуючи їх, будемо
писати
або
.
Елементи матриці позначають буквами з
двома індексами: aij
або ai
j,
Якщо два індекси розташовані внизу, то
перший з них означає номер стрічки, а
другий – номер стовпчика,
на перетині яких розташований даний
елемент матриці. Якщо ж один з індексів
розташовано вверху, то тоді цей індекс
означає номер стрічки, а нижній – номер
стовпчика (не
плутати верхні індекси з показниками
степені!).
1.2.
Зауваження.
Для матриць, ялементами яких є дійсні
або комплексні числа (числові матриці)
справедливим є і таке означення –
розглянемо дві множини цілих чисел:
та
Через
позначимо множину всіх пар чисел виду
,
де
– число з множини I,
j
- число з множини J.
Матрицею називається функція на множині
,
тобто закон, який співставляє кожній
парі
деяке число
.
1.3.
Означення.
Дві матриці
і
називають рівними,
якщо вони мають одинакові розміри
(кількість стовпчиків і стрічок матриць
співпадають) і їх елементи, які стоять
на однакових місцях, є рівними:
.
1.4.
Означення.
Нехай
і
– матриці, які складаються з m
стрічок і n
стовпчиків. Сумою матриць
і
називають матрицю
тих же розмірів
,
кожен елемент якої дорівнює сумі
елементів матриць
та
,
які стоять на тих же місцях, тобто
елементи
матриці
пов’язані з елементами
та
матриць
та
рівністю
для
всіх
;
.
Суму
матриць
та
позначають
.
1.5. Зауваження. Операція “сума матриць” визначена тільки для матриць одних і тих же розмірів!
1.6.
Означення.
Матриця
,
елементи якої
дорівнюють добутку елементів
матриці
на дійсне або комплексне число α
називається добутком матриці
на число α
і позначається
.
Маємо
для
всіх
;
.
З
означень 1.3.
і 1.4.
витікають наступні властивості операцій
додавання матриць
і
одних і тих же розмірів та множення
матриці на довільні числа α і β.
1.7.
Властивість.
Додавання матриць є комутативною
операцією, тобто
.
1.8. Властивість. Додавання матриць є асоціативною операцією:
.
1.9.
Властивість.
Множення
матриці на число є дистрибутивною
операцією
по відношенню до додавання чисел:
1.10.
Властивість.
Множення
матриці на число є дистрибутивною
операцією
по відношенню до додавання матриць:
1.11.
Властивість.
Множення матриці на число
–
асоціативна
операція:
1.12.
Означення.
Матриця, всі елементи якої дорівнюють
нулю, називається нульовою
матрицею.
Якщо
– нульова матриця розмірів
,
то для любої матриці
тих же розмірів маємо
.
1.13.
Означення.
Матрицю
(-1)
називають протилежною
до матриці
і позначаємо
.
Матриця, протилежна до заданої матриці,
має властивість
1.14.
Означення.
Операція
віднімання
матриць
визначається через операції додавання
матриць та множення матриці на число,
тобто сума матриць
і
називається різницею
матриць
та
і позначається
1.15.
Означення.
Квадратна матриця довільного порядку
n
всі
“n”
елементи якої розташовані на головній
діагоналі і дорівнюють 1, а всі інші
елементи дорівнюють нулю, називається
одиничною і позначається
.
1.16.
Означення.
Матрицю
розмірів
,
тобто таку, яка складається з однієї
стрічки, називають матрицею-стрічною
або вектор-стрічкою
або просто стрічкою
довжини n.
Матрицю розмірів
,
яка складається з одного стовпчика,
називають матрицею-стовпчиком або
вектор-стовпчиком висоти m
або просто стовпчиком.
В
подальшому зручно застосовувати
позначення векторів-стовпчиків і
векторів-стрічок, уперше запропоновані
Полем Діраком. Зручність цих позначень
полягає в тому, що вектор-стовпчик
важко
переплутати з вектор-стрічкою
,
а добуток матриць
,
що є числом, з добутком
,
який є матрицею порядку n
(операцію множення матриць буде означено
пізніше) Позначення Дірака широко
застосовуються в сучасній літературі
з квантової механіки, квантової теорії
поля, квантової оптики, фізики твердого
тіла тощо.
Матрицю
=
довільних
розмірів
можна розглядати як сукупність стовпчиків
висоти m
або сукупність стрічок довжини n.
Нехай
,
тоді матрицю
можна записати у такому вигляді
.
Аналогічно, якщо
,
тоді
та ж матриця запишеться у
такому
вигляді
=
.
1.17. Зауваження. Операцію додавання векторів-стрічок визначено для векторів-стрічок однієї довжини, так само як додавання векторів-стовпчиків – тільки для векторів-стовпчиків однієї висоти. Для цих двох видів матриць ми детальніше вивчимо операції додавання і множення на число. При цьому мова буде йти тільки про вектори-стовпчики, так як для векторів-стрічок всі властивості формуються і доводяться аналогічно.
1.18.
Означення.
Вектор-стовпчик
називається лінійною комбінацією
стовпчиків
однакової
висоти, якщо при деяких числах α1
,
…, αm
або більш детально
Числа
називають коефіцієнтами лінійної
комбінації. В силу означень операцій
множення матриці на число та додавання
ця рівність рівносильна числовим
рівностям
1.19.
Означення.
Вектор-стовпчик,
всі елементи якого дорівнюють нулеві,
називається нульовим і позначається
наступним чином
.
Аналогічно визначається і нульова
вектор-стрічка
1.20.
Означення.
Система
з s
стовпчиків
однієї
і тієї ж висоти називається лінійно
незалежною, якщо з рівності
слідує
.
В противному випадку система з
s
стовпчиків є лінійно залежною.
1.21. Означення. Лінійну комбінацію вектор-стовпчиків, всі s коефіцієнтів якої дорівнюють нулеві, називають тривіальною. З допомогою цього терміну означення 1.20. можна сформулювати так: система стовпчиків є лінійно залежною, якщо існує рівна нульовому стовпчику нетривіальна лінійна комбінація цих стовпчиків. Система стовпчиків є лінійно незалежною тоді і тільки тоді, коли тільки тривіальна лінійна комбінація цих стовпчиків дорівнює нульовому стовпчику.
1.22. Приклад. Лінійно незалежною системою вектор-стовпчиків є наступна система з n вектор-стовпчиків:
1.23. Властивість. Система з s > 1 стовпчиків лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один з стовпчиків є лінійною комбінацією інших стовпчиків.
Нехай
система є лінійно залежною. Тоді, згідно
означенню 1.20.,
існує нетривіальна лінійна комбінація
системи векторів-стовпчиків, що
розглядаються, рівна нульовому
вектор-стовпчику:
Нехай
який-небудь з коефіцієнтів
Звідси
тобто
j-тий
стовпчик є лінійною комбінацією інших
стовпчиків. Навпаки, якщо один з стовпчиків
є лінійною комбінацією інших, тобто має
місце рівність
то
з цієї рівності слідує існування
нетривіальної лінійної комбінації
векторів з відмінними від нуля
коефіцієнтами, рівної нульовому вектору
1.24. Властивість. Якщо система векторів утримує нульовий вектор стовпчик, то система є лінійно залежною.
Дійсно,
любий нульовий стовпчик є тривіальна
лінійна комбінація довільної системи
вектор-стовпчиків, тобто доведення цієї
властивості зводиться до доведення
попередньої властивості.
1.25.
Властивість.
Якщо деякі з стовпчиків даної системи
утворюють самі по собі лінійно залежну
підсистему стовпчиків, то і вся система
є лінійно залежною.
В силу сформульованого, існує нетривіальна лінійна комбінація деякої підсистеми заданої системи стовпчиків, рівна нульовому стовпчику. Якщо до цієї комбінації стовпчиків додати інші стовпчики заданої системи з нульовими коефіцієнтами, то отримаємо нетривіальну лінійну комбінацію всіх стовпчиків, яка дорівнює нульовому стовпчику.
1.26. Властивість. Любі стовпчики, які входять в лінійно незалежну систему стовпчиків, самі по собі утворюють лінійно незалежну систему.
Якби було не так, то ми прийшли б до протиріччя з попередньою властивістю.
1.27.
Властивість.
Якщо стовпчик
є лінійна комбінація стовпчиків
,
які є підсистемою деякої системи
стовпиків
,
то
є також лінійною комбінацією цієї
системи стовпчиків.
Для доведення до даної лінійної комбінації підсистеми достатньо добавити ті стовпчики системи стовпчиків, яких не вистачає, з нульовими коефіцієнтами.
1.28. Властивість. Любий стовпчик висоти n є лінійною комбінацією стовпчиків
Дійсно,
яким би не був стовпчик
,
лінійна комбінація стовпчиків
з коефіцієнтами, які співпадають з
відповідними елементами заданої матриці,
дорівнює заданій матриці
:
.
Розглянемо матрицю з m стрічок та n стовпчиків. Їй можна співставити матрицю з n стрічок та m стовпчиків за наступним правилом: елементи кожньої стрічки матриці записуються в тому ж порядку в стовпчики матриці , причому номер стовпчика співпадає є номером стрічки, тобто -та стрічка матриці складається з тих же елементів і в тому ж порядку, що й -ий стовпчик матриці
.
Таку
матрицю називають транспонованою
по відношенню до
і позначають
,
перехід від
до
називають
транспонуванням.
Визначення транспонованої матриці
можна записати у вигляді
рівностей:
,
,
,...,
,...,
,
які зв’язують елементи матриці
і
для всіх
,
.
1.29.
Приклад.
Матриці
,
і
називається матрицями Паулі і відіграють
надзвичайно важливу роль в квантовій
механіці і квантовій теорії поля.
Для цих матриць маємо
,
і
.
Очевидно,
,
і
.
1.30.
Означення.
Матриці,
для яких справедливо
,
називаються симетричними, а матриці
для яких
,
називаються антисиметричними.
Матриці
і
є симетричними, а матриця
є антисиметричною.
§ 2. Детермінант матриці
1.31.
Зауваження.
Поняття «Детермінант» («Визначник»)
означено тільки для квадратних матриць.
Детермінінт матриці позначається
,
або, якщо потрібно виписати елементи
цієї матриці – прямими рисками по боках
цієї матриці.
1.32. Означення. Детермінант квадратної матриці – це число або символ, які їй ставляться у відповідність і можуть бути знайдені за елементами матриці згідно наступним означенням:
Детермінантом матриці порядку 1 називається єдиний елемент цієї ж матриці
Детермінант матриці
порядку n > 1 називається число або символ, які наступним чином визначаються через елементи матриці
де
детермінант матриці порядку (
),
яка отримується з матриці А
викреслюванням її першої стрічки і k-го
стовпчика.
називається
додатковим
мінором
елемента
заданої квадратної матриці. По аналогії
можна визначити додатковий
мінор
довільного елемента
як детермінант матриці порядку (
),
яка отримана з початкової матриці А
викреслюванням тієї ж стрічки і того ж
стовпчика, в яких розташовано елемент
,
тобто
–ої
стрічки та
-го
стовпчика.
1.33. Приклад. Користуючись означенням 1.32 знайдемо визначник матриць Паулі:
Властивості детермінантів
1.34. Властивість. Для кожної матриці А порядку n має місце формула
,
яка називається розкладом детермінанта за першим стовпчиком.
Для доведення скористаємось методом математичної індукції.
Розглянемо
визначник матриці другого порядку:
.
Вважаючи,
що наступна рівність
,
де А
– матриця порядку (
),
є справедливою, отримаємо з неї основне
співвідношення. Розкладемо визначник
матриці порядку n
за
першою стрічкою, виділивши
в сумі явно перший член:
При
любому
матриця, яка отримується з матриці
А порядку
n
викреслюванням першої стрічки і k–ого
стовпчика, утримує перший стовпчик без
елемента
матриці А.
Розкладемо
по цьому стовпчику, врахувавши, що i-та
стрічка матриці А
в
входить під номером (
),
так як в
не
ввійшла перша стрічка матриці А.
Тому
при
отримаємо
де
– детермінант матриці порядку
,
яка отримується з
викреслюванням її
-ої
стрічки та 1-го стовпчика, або, що те ж
саме, викресленням з матриці
n-ого
порядку 1-ої і і-ої
стрічок та 1-го і k–го
стовпчиків.
Тоді
Змінимо порядок сумування і винесемо множник, не залежний від k, за внутрішній знак суми.
Врахуємо,
що
в силу того, що в матриці, детермінантом
якої є
,
в порівнянні з матрицею А
пропущено перший стовпчик і всі номери
стовпчиків зменшені на 1. Таким чином,
маємо
=
1.35.
Властивість.
Для
любої квадратної матриці
.
Скористаємось знову методом математичної індукції. Для матриць другого порядку маємо:
,
.
Вважаємо,
що
.
Тоді, використовуючи означення 1.36.
для знаходження визначника матриці
та властивість 1.34.
для знаходження визначника транспонованої
матриці
,
запишемо
,
де
-
елементи першого стовпчика транспонованої
матриці, тобто
.
Враховуючи, що
,
приходимо до рівності
.
1.37. Наслідок. З властивості 1.35. витікає рівноправність стрічок і стовпчиків – якщо справедливе яке-небудь твердження про детермінанти, яке має відношення до стрічок відповідної матриці, то є справедливим і аналогічне твердження, яке стосується стовпчиків. В силу цього наступні властивості достатньо довести тільки для стрічок.
1.38. Властивість. Якщо в квадратній матриці поміняти місцями які-небудь дві стрічки (два стовпчики), то детермінант матриці поміняє знак, не змінившись за абсолютніою величиною.
Використовуємо для доведення метод математичної індукції
.
Припустимо,
що твердження справедливе для матриць
порядку (
)
і доведено його для матриць порядку n.
Нехай номера стрічок, які ми переставляємо
і
.
Напишемо розклад визначника
за першим стовпчиком, виділивши в ньому
дві складові, які відповідають стрічкам,
що переставляються
.
Аналогічно
для матриці В,
яка отримується з матриці А
перестановкою
k–ої
і
стрічок
.
При
,
в
і
входять
і
стрічки, але в різному порядку, а інші
їх стрічки однакові, отже згідно
припущенню індукції
при
,
.
Матриці, детермінанти яких позначено
і
співпадають – вони отримані викреслюванням
стрічки з матриці В
або, що те ж саме, k-ої
стрічки матриці А.
Тому
=
.
Аналогічно
.
Таким
чином, порівнюючи
і
бачимо, що вони рівні за абсолютною
величиною і відрізняються знаком. Нехай
тепер в матриці А
порядку
n
переставлено
стрічки з номером
і
та j
(
).
Перестановку і-ої
та j-ої
стрічок можна провести,
переставляючи тільки сусідні стрічки:
спочатку j–ту
стрічку переставляємо послідовно з
стрічками, які стоять над нею (остання
буде і-та),
потім і-у стрічку переставляємо на j-те
місце міняючи місцем з
стрічками, розташованими нижче від неї.
Всього буде зроблено непарну
кількість перестановок сусідніх стрічок.
Так як при кожній з перестановок
детермінант змінює знак, то в результаті
знак детермінанту зміниться.
Властивість 1.37. називають антисиметрією детермінанту відносно перестановок стрічок (стовпчиків).
Використовучи властивість антисиметрії можемо довести наступне.
1.39.
Властивість.
Для
кожної квадратної матриці А
порядку n
при довільному і
(
)
має місце співвідношення
і
при довільному
j
(
)
Очевидно,
при
перше
співвідношення є означенням детермінанту.
Доведемо
це співвідношення при
.
Для цього переставимо і-ту
стрічку на перше місце так, щоб не
порушувати порядок інших стрічок,
переставляючи і–ту
стрічку послідовно з усіма стрічками,
розташованими вище неї. Вище і-ої
стрічки знаходиться
стрічка, Тому, якщо В
–
матриця, отримана з матриці
після перестановки
-ої
стрічки на місце першої, то
.
Розкладемо по першій стрічці (і-ій стрічці матриці А)
,
де
– визначник матриці, яка отримується
з матриці В
викреслюванням першої стрічки і k-ого
стовпчика, або, що те ж саме – з матриці
А
викреслюванням і-ої
стрічки і k–ого
стовпчика. Тому
.
Враховуючи, що
,
отримаємо
.
1.40.
Властивість.
Якщо
і-ий
стовпчик (стрічка) матриці А
є лінійна комбінація стовпчиків (стрічок)
та
,
тобто має вигляд
де
і
– довільні числа, то
,
де матриці
і
отримуються
з матриці А заміною її і-го
стовпчика відповідно на стовпчики
і
.
Ця властивість носить назву лінійності детермінанта по стовпчику (стрічці).
Дійсно,
розкладемо визначник за і-тим
стовпчиком і врахуємо
:
1.41. Зауваження. Цю властивість лінійності детермінанту по стовпчику можна сформулювати у вигляді двох окремих властивостей.
1). При множенні стовпчика матриці на число її детермінант множиться на це число.
2). Якщо стовпчик матриці є сумою двох стовпчиків, то її детермінант є сума детермінантів відповідних матриць.
1.42. Властивість. Якщо в матриці А стовпчики (стрічки) лінійно залежні, то її визначник дорівнює нулю.
В першу чергу зауважимо, що якщо в матрицю входить нульовий рядок або нульовий стовпчик, то її визначник очевидно є рівним нулю. Крім цього, з властивості антисиметрії визначника слідує, що якщо матриця утримує два ідентичних рядки або стовпчики, то її визначник також дорівнює нулю. Якщо рядки в заданій матриці є лінійно залежними, то це означає, що хоча б один рядок (нехай його номер є ) матриці є лінійною комбінацією інших рядків цієї матриці, тобто є справедливою наступна рівність:
.
Тоді, розкладаючи визначник цієї матриці за і-тим рядочком і використовуючи властивість 1.39., отримуємо
де
– матриця, в якій на місці і-ого
рядка знаходиться будь-який k-тий
рядок цієї матриці, який не співпадає
з і-тим
рядком. Отже, кожна матриця
утримує дві ідентичні стрічки, тому
визначник кожної з цих матриць дорівнює
нулю, тобто