Приклад 1

Знайти границі: Приклад 2

З ауваження:

Приклад 3

Приклад 4

Розглянемо застосування числа е в економіці. Відомо, що формула складного проценту має вид:

де Q-сума вкладів після n періодів.

Q₀-початкова сума вкладів в банк.

P-процент нарахувань за певний період (місяць, рік,…).

n- кількість періодів зберігання вкладу.

Формула типу (1) використовується також в демографічних розрахунках (приріст народонаселення) та в економічних прогнозах (зростання валового національного доходу).

Нехай початковий депозит Q₀ розміщено в банк під р=100% річних, тоді через рік сума депозиту становитиме 2Q₀. Припустимо, що через півроку рахунок закрито з результатом:

і ця сума знову вноситься в банк в якості депозиту в тому ж банку. Наприкінці року депозит буде складати

Б удемо зменшувати, строк розміщення депозиту в банк при умові його наступного розміщення після зняття. При щоквартальному повторенні цих операцій депозит наприкінці року складатиме:

Я кщо банк настільки щедрий, що дозволяє повторювати операцію зняття-розміщення на протязі року скільки завгодно разів, то сума за рік становитиме:

При щоденному відвіданні банку:

П ри щогодинній активності:

Неважко помітити, що послідовність значень збільшення первинного вкладу співпадає з послідовністю, межею якої є число е при n → ∞.

Таким чином, прибуток, який можна, отримати при необмеженому використанні процентів на проценти, можна скласти за рік не більше ніж

В загальному випадку, якщо р - процент нарахувань і рік розбито на n - частин, то через t - років сума депозиту досягне величини

ц ей вираз можна перетворити

Якщо ввести нову змінну m=n/r, то при n→∞ отримаємо m→∞ або

Р озрахунки, виконані за цією формулою, називають обчисленнями по неперервним процентам.

Приклад 5.

Нехай темп інфляції складає 1% за добу..На скільки зменшитися первинна сума через півроку?

З астосування формули складного проценту дає:

Q₀ - первинна сума.; 182 - число днів в півроку

П еретворивши цей вираз отримаємо:

тобто, інфляція зменшить первинну суму майже в шість разів.

Завдання для самостійної роботи

1. Вказати числові підмножини для множини Z .

2. Вказати числові підмножини для множини Q.

3. Вказати числові підмножини для множини R .

4.Чи буде множина I підмножиною N .

5. Чи буде множина I підмножиною Z

6. Чи буде множина I підмножиною Q

7. Чи буде множина I підмножиною R

8.Об"єднанням яких множин можна вважати множину R.

9. Різницею яких множин можна вважати множину N

10.Різницею яких множин можна вважати множину Z

11. Знайти всі підмножини для множини

12. З"ясувати , чи належить точка М1(2;3;-1;3) та М2(3;3;-1;3)

r- околу точки М0(1;2;-1;2), якщо r= 2

13. Вказати множину розв"язків рівняння 3х2 + 12 = 0.

14. Дано множини .Знайти об"єднання, перетин, різницю та добуток цих множин.

15.Вказати r -окіл числа 7, якщо а).r=3: б). r=2:в). r =1,5:г).r =0,01 д). r =0,001

16. Вказати r окіл точки А0 (2;3), якщо а).r=3: б). r =2:в). r=1:г). r=0,25.

17. Вказати r -окіл точки М0 (3;0;1), якщо а)r.=3: б). r=2:в). r=1:г). r=0,25.

18. Записати перші п"ять членів послідовності, що задається формулою

19. За даними першими членами послідовності скласти рекурентну формулу цієї послідовності

20. Покладаючи n =0,1,2,3,…, записати послідовність значень змінної xn , якщо:

Зобразити графічно ці послідовності. Починаючи з якого значення n члени послідовності ставатимуть меншими за e = 0,001

21. Записати "десятковими" послідовностями наближення змінних х до межі:

22. Знайти границю послідовності:

23. Записати послідовності значень змінних хn .Зобразити ці послідовності графічно. .Чи існує в кожному з цих прикладів і чому він дорівнює ?

59