Безмежними інтервалами і напівінтервалами є інтервали такого типу

Геометрично множину дійсних чисел зображають точками числової прямої.

r – околом даного числа (точки) називають таку множину чисел(точки), кожна з яких від даного числа (точки) знаходиться на відстані не більшій за r. , якщо Геометричним змістом r – околу в є відрізок ;

Геометричним змістом r – околу в є круг ;

Геометричним змістом r – околу в є шар

§ 2. Означення послідовності.

Числовою послідовністю (або, коротко – послідовністю) називають множину чисел , кожне з яких отримане за певним законом для кожного натурального числа . Тобто послідовність – це функція з натуральним аргументом. , де , ,

-й член послідовності

Приклади послідовностей: арифметична та геометрична прогресії.

За означенням послідовність містить нескінчену кількість членів, причому будь-які два з них відрізняються, принаймні, номерами.

Отже, елементи ,та x_m при вважаються різними, хоча як числа вони можуть бути рівні між собою. Якщо всі елементи послідовності дорівнюють одному й тому самому числу, то її називають сталою.

Наприклад: -арифметична прогресія

- геометрична прогрессія

- стала послідовність.

Геометрично послідовність зображається на числовій осі у вигляді послідовності точок, координати яких дорівнюють відповідним членам послідовності.

● ● ● ● ● ● ● ● ●

1 2 3 4 6 7 10 13 16 X

Можна також зображати послідовність точками координатної площини OXY, відкладаючи на вісі OX номери членів послідовності, а на вісі OY – відповідні члени.

У

4

3

2

1 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Х

Послідовність вважається заданою, якщо вказано спосіб знаходження її загального члена. Найчастіше послідовність задається формулою її загального члена.

Числові послідовності можна задати так званим рекурентним способом (від латинського recurens – зворотний). Суть його полягає в тому, що задають кілька членів послідовності і вказують правило, за яким можна знайти наступний її член.

Іноді числові послідовності задають словесним описом.

Не всяка числова послідовність підлягає аналітичному запису (тобто може бути записана формулою n – го члена).

Наприклад: 1) Записати перши п’ять членів послідовності, заданної її загальним членом:

Розв’язання:

Оскільки , то при ; ; ; Відповідь:

2) Відповідь:

3) , де якщо ; ; ; Відповідь:

Евклід довів, що множина простих чисел ннескінчена, тобто прості числа утворюють послідовність. Формула загального члена цієї послідовності досі не знайдена і навіть невідомо, чи така формула існує.