Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Тема3-5.doc
Скачиваний:
24
Добавлен:
10.08.2019
Размер:
486.4 Кб
Скачать

Тема 5. Похідна функцій. Геометричний, економічний та механічний зміст похідної. Дотична до кривої. Похідні неявно та параметрично заданих функцій. Похідні вищих порядків.

§ 1. Задачі, що приводять до поняття похідної

1 . Задача про дотичну. Нехай на площині ХОУ задано неперервну криву y = f(x) і необхідно знайти рівняння дотичної до цієї кривої в точці М000).

у

у = f(х)

у0+ у м1

у

у0 м0 N

Х

 

0 х0 х0+ х х

Перш за все необхідно пояснити, що ми будемо розуміти під дотичною до кривої, Дотичну не можна означити як пряму, що має з кривою одну єдину точку. Наприклад прямі на малюнку мають тільки одну загальну точку з даною кривою ,але ж зрозуміло , що вони не дотикаються а перетинають цю криву. Отже для означення дотичної до кривої повинно застосувати іншій підхід.

y

(1)

(2)

С (4)

Надамо аргументу х0 приріст х та перейдемо на кривій у = f(x) від точки М00;f(x0)) до точки М10+ х;f(х0+ х)). Проведемо січну М0М1. Під дотичною до кривої у = f(x) в точці М0 природно розуміти граничне положення січної М0М1 при наближенні (прямуванні) точки М1 до точки М0 , тобто при х0. Рівняння прямої, що проходить через точку М0 (пучка прямих) має вид: y - f(x0) = k(x - x0). Кутовий коефіцієнт (або тангенс кута  нахилу) січної k може бути знайдений з трикутника М0М1N. Тоді кутовий коефіцієнт дотичної можна визначити як

2. Задача про швидкість руху. Нехай вздовж деякої прямої рухається точка по закону s = s(t), де s - пройдений шлях, t -час, і необхідно обчислити швидкість точки в момент t0. На час t0 пройдений шлях дорівнюватиме s0 =s(t0) і на момент (t0 + t)- шлях (s0 + s) = s(t0 + t)

s

s(t0) t s(t0 + t)

t0 t0 + t t

Тоді за проміжок часу t середня швидкість буде vср = S/t . Чим менше t тим краще середня швидкість характеризує рух точки в момент t0. Тому під швидкістю точки в момент t0 природно розуміти границю середньої швидкості за проміжок часу від t0 до ( t0 + t) коли t0, тобто коли

3. Задача про продуктивність праці. Нехай функція u = u(t) виражає кількість виробленої продукції u за час t і необхідно обчислити продуктивність праці в момент часу t0. Зрозуміло , що за період часу від t0 до t0+t кількість виробленої продукції зміниться від значення u0 = u(t0) до значення (u0 + u) = u(t0 + t); тоді середня продуктивність праці за цей період часу

Очевидно, що продуктивність праці в момент t0 можна визначити як граничне значення середньої продуктивності за період часу від t0 до (t0 + t) коли t0, тобто коли

Розглянувши три різні за характером задачі ми прийшли до границі одного виду. Така границя відіграє дуже важливу роль в математичному аналізі і є основним поняттям диференціального числення.

§ 2. Означення похідної. Її геометричний, механічний та економічний зміст.

Нехай на деякому проміжку х визначена функція у = f(х) . Візьмемо точку х є Х і надамо аргументу довільний приріст х ≠ 0 такий, щоб точка х0 + х є Х . Функція набуде при цьому приросту

f = f(х0 + х) – f(х0)

Означення Похідною (або похідною першого порядку, першою похідною) функції у = f(х) в точці х0 називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу при умові, що приріст аргументу прямує до нуля, тобто:

Приріст аргументу - різниця між нарощеним та початковим значенням аргумента ;

Приріст функції - різниця між нарощеним та початковим значенням функції

Числа називають відповідно лівою і правою похідними функції у = f(x) в точці х0.

Для існування похідної f /0) функції f(x) в точці х0 необхідно і достатньо щоб її ліва і права похідні в цій точці існували і збігалися, тобто f - /(x0) = f+/ (x0)

Похідна функції f(x), розглядувана на множині тих точок, де вона існує сама є функцією. Процес знаходження похідної називають також диференціюванням.

Алгоритм обчислення похідної функції за означенням

1. Надати аргументу х приросту х, і підставляючи в даний вираз функції замість х нарощене значення х + х, знаходимо нарощене значення функції. у + у = f(х +х)

2.Віднімаючи від нарощеного значення функції її початкове значення, знаходимо приріст функції. у = f(х + х) – f(х)

3.Поділити приріст функції на приріст аргументу.

4. Знаходимо границю цього відношення при х0 .Ця границя і дає шукану похідну у / від функції у = f(x).

Наприклад. Знайти похідну для функції у = 3х2 - 4х, користуючись означенням

1 . f(х + х) = 3 (х + х)2 – 4 (х + х) = 3х2 + 6хх + 3х2 – 4х - 4х

2 . у = f(х + х) – f(х) =3 х2 + 6хх + 3х2 – 4х - 4х – 3х2 + 4х

3. 4. Відповідь:(3х2 – 4х) / =6х– 4.

Геометричний зміст похідної : Значення похідної для даної функції в заданій точці чисельно співпадає з значенням тангенсу кута нахилу дотичної до графіка цієї функції в цій точці дотику. Отже рівняння дотичної до графіка функції в точці х0 можна задати з рівняння пучка прямих з кутовим коефіцієнтом k = а саме Або останню формулу можна записати у виді:

Механічний зміст похідної: Значення похідної для даної функції в заданій точці чисельно співпадає з значенням миттєвої швидкості руху матеріальної точки в момент часу t0 , тобто ; Отже швидкість це похідна від пройденого шляху по часу.

Економічний зміст похідної: Значення похідної для даної функції в заданій точці чисельно співпадає з граничним значенням середньої продуктивності праці в момент часу t0, тобто Отже продуктивність праці це похідна від об'єму виробленої продукції по часу.

П охідні деяких функцій

§ 3. Використання поняття похідної в економіці.

Витрати виробництва у будемо розглядати як функцію від кількості випущеної продукції х. Нехай х - приріст продукції, тоді у - приріст витрат виробництва і - середній приріст витрат виробництва на одиницю продукції. Похідна виражає граничні витрати виробництва і характеризує наближено додаткові витрати на виробництво одиниці додаткової продукції. Граничні витрати залежать від рівня виробництва ( кількості випущеної продукції) х і визначаються не сталими виробничими витратами, а лише змінними ( на сировину, пальне і т.п.) . Аналогічно можуть бути виражені гранична виручка, граничний дохід, граничний продукт, гранична корисність та інші граничні величини.

Граничні величини характеризують не стан (як сумарна або середня величини) , а процес, зміну економічного об'єкту. Таким чином похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного об'єкту (процесу) по часу або відносно якогось іншого досліджуваного фактору. Слід врахувати, однак, що економіка не завжди дозволяє використати граничні величини в силу неподільності багатьох об'єктів економічних розрахунків та дискретності (приривності) економічних показників в часі (наприклад річних, квартальних, місячних ). Разом з тим в ряді випадків можна абстрагуватися від дискретності показників і ефективно використати граничні величини.

Для дослідження економічних процесів та розв'язання інших прикладних задач часто використовується поняття еластичності функції.

Еластичністю функції. називають границю відношення відносного приросту функції у до відносного приросту змінної х при умові х0:

Еластичність функції показує наближено, на скільки відсотків зміниться функція у = f(x) при зміні незалежної змінної х на 1%.

Відмітимо властивості еластичності функції

1.Еластичність функції дорівнює добутку незалежної змінної х на темп зміни функції

тобто

2.Еластичність добутку (частки) двох функцій дорівнює сумі ( різниці) еластичностей цих функцій:

;

Еластичність функцій застосовується при аналізі попиту та споживання. Наприклад, еластичність попиту у відносно ціни х (або доходу х) - коефіцієнт, який визначається за формулою та показує наближено, на скільки відсотків змінюється попит ( об'єм споживання) при зміні ціни (або доходу) на 1%.

Якщо еластичність попиту (по абсолютній величині) то попит вважають еластичним, якщо - нейтральним, якщо ж - нееластичним відносно ціни ( або доходу).

Наприклад:

1).Витрати виробництва у залежать від об’єму продукції х за формулою .Знайти граничні витрати, якщо а) х = 5 одиниць; в) х = 10 одиниць

Розв’язання:

Маємо , звідси . Це означає, що при об¢ємі в 5 одиниць продукції витрати по виготовленню наступної шостої одиниці продукції складуть 97,5% ; при об¢ємі виробництва у 10 одиниць вони складають 90%.

2). Знайти еластичність функції у = 3х – 6, якщо х = 10.

Розв’язання:

Згідно з означенням еластичності

Тоді при х = 10; .

Це означає , що коли х зростає на 1%, то у зростає на .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]