§ 4. Похідна неявно заданої та параметрично заданої функції.

Неявна функція - функція задана рівнянням f(x;y) = 0 , не розв"язаним відносно змінної у.

Похідна неявної функції - обчислюється спочатку шляхом диференціювання обох частин по змінній х , вважаючи у складною функцією у(х) , а потім розв"язують отриману рівність відносно у'.

Приклад: Обчислити похідну для функції х² + у² = R^{2 ;}

Розв’язання

2х + 2у у ^/ = 0

Логарифмічне диференціюванн - диференціювання з попереднім логарифмуванням даного виразу ( частіше за основою е) доцільно застосовувати для функцій, що містять логарифмовані операції (множення, ділення, піднесення до степеня, добування кореня, зокрема для знаходження похідної показниково-степеневої функції y = u ^v , де u = f(x); v = q(x). )

у = (х^х) ^/ ; ln у = х  ln х ; Знаходимо похідну обох частин у ^/ = х ^х(ln х + 1) .

Параметр - допоміжна змінна, що використовується при постановці чи розв"язуванні задачі.

Параметрично задана функція - функція у від незалежної змінної х , що задається за допомогою проміжної змінної ( параметра) t.

Наприклад:

Похідна параметрично заданої функції обчислюється за формулою

Дотична до кривої l в точці М - пряма, що є граничним положенням січної ММ', при необмеженому наближенні точки М' кривої l повздовж цієї кривої до точки М.

Рівняння дотичної -

Нормаль до кривої l в точці М - пряма, що проходить через цю точку і перпендикулярна до дотичної прямої в цій же точці.

Рівняння нормалі -

Кут між двома кривими - визначається кутом між дотичними до цих кривих побудованих у точці перетину цих кривих за формулою: де к₁ ,к₂ коефіцієнти нахилу дотичних.

П риклад: Визначити кут між кривими

У 

1

0 п/4 п/2 х

§ 5. Похідні вищих порядків.

Вищий порядок – порядок не менше другого.

Друга похідна (похідна другого порядку) – похідна від першої похідної Аналогічно визначаються похідні будь-якого порядку.

П охідна n-го порядку – похідна від похідної n-1 порядку

Д ля добутку двох функцій можна отримувати похідну будь-якого порядку користуючись формулою Лейбніца.

Зауваження: Для функцій, що часто зустрічаються в розрахунках похідні будь якого порядку можна знаходити за допомогою приведеної нижче довідкової таблиці. Кожну формулу цієї таблиці неважко довести користуючись методом математичної індукції та означенням похідних вищих порядків.

Завдання для контрольної роботи

Варіант 1.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Залежність між витратами виробництва у та об’ємом випущеної продукції х виражається функцією Визначити середні та граничні витрати при об’ємі продукції 30 од.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 2.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Залежність між собівартістю одиниці продукції у (тис.гр..од.) та випуском продукції х (млрд..гр..од.) виражається функцією у = - 0,5х + 80. Знайти еластичність собівартості при випуску продукції на 60 млрд. Гр.. од.

8. Обчислити похідні n - го порядку

Варіант 3.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Об’єм продукції u виконаний бригадою робітників можна задати функцією

де t - час роботи в годинах. Обчислити продуктивність праці, швидкість та темп її зміни через годину після початку роботи та за годину до її закінчення.

8 Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 4.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Дослідницьким шляхом встановлено функції попиту та пропозиції . Де q та s , кількість товару що пропонується та купується на протязі години, р – ціна товару. Знайти : а) рівноважну ціну; б) еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни; в) зміну доходу при збільшенні ціни на 5% від рівноважної.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 5.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Яка залежність між граничними та середніми повними витратами виробництва, якщо еластичність повних витрат дорівнює 1.?

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 6.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Об’єм продукції u (гр..од.) за період робочого дня виражено функцією де t – час у годинах . Обчислити продуктивність праці через 2 години після початку роботи.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 7.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Залежність між витратами виробництва у (гр..од.) та об’ємом випущеної продукції х (од.) виражено функцією . Визначити середні та граничні витрати при об’ємі продукції 5 од.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 8.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Функції попиту q та пропозиції s від ціни p виражено відповідно рівняннями q = 7 – p та s = p + 1. Знайти : а) рівноважну ціну, б) еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни, в) зміну доходу (в процентах) при збільшенні ціни на 5% від рівноважної.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 9.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Залежність між витратами виробництва у (гр..од.) та об’ємом випущеної продукції х (од.) виражено функцією . Визначити середні та граничні витрати при об’ємі продукції 15 од.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 10.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Залежність між витратами виробництва у (гр..од.) та об’ємом випущеної продукції х (од.) виражено функцією . Визначити середні та граничні витрати при об’ємі продукції 25 од.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 11.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Залежність між витратами виробництва у та об’ємом випущеної продукції х виражається функцією Визначити середні та граничні витрати при об’ємі продукції 100од.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 12.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Залежність між собівартостю одиниці продукції у (тис.гр..од.) та випуском продукції х (млрд..гр..од.) виражається функцією у = -1,5х + 80. Знайти еластичність собівартості при випуску продукції на 65 млрд. Гр.. од.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 13.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Об’єм продукції u виконаний бригадою робітників можна задати функцією

де t - час роботи в годинах. Обчислити продуктивність праці, швидкість та темп її зміни через годину після початку роботи та за годину до її закінчення.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 14.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Дослідницьким шляхом встановлено функції попиту та пропозиції . Де q та s , кількість товару що пропонується та купується на протязі години, р – ціна товару. Знайти : а) рівноважну ціну; б) еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни; в) зміну доходу при збільшенні ціни на 5% від рівноважної.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 15.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Яка залежність між граничними та середніми повними витратами виробництва, якщо еластичність повних витрат дорівнює 1.?

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 16.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Об’єм продукції u (гр..од.) за період робочого дня виражено функцією де t – час у годинах . Обчислити продуктивність праці через 2 години після початку роботи.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 17.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Залежність між витратами виробництва у (гр..од.) та об’ємом випущеної продукції х (од.) виражено функцією . Визначити середні та граничні витрати при об’ємі продукції 15 од.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 18.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Функції попиту q та пропозиції s від ціни p виражено відповідно рівняннями q =9 – 2p та s = 3p + 2. Знайти : а) рівноважну ціну, б) еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни, в) зміну доходу (в процентах) при збільшенні ціни на 5% від рівноважної.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 19.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Функції попиту q та пропозиції s від ціни p виражено відповідно рівняннями q =19 –1 2p та s =13p + 2. Знайти : а) рівноважну ціну, б) еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни, в) зміну доходу (в процентах) при збільшенні ціни на 25% від рівноважної.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 20.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Функції попиту q та пропозиції s від ціни p виражено відповідно рівняннями q =7 – 5p та s = 4p + 7. Знайти : а) рівноважну ціну, б) еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни, в) зміну доходу (в процентах) при збільшенні ціни на 15% від рівноважної.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 21.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Залежність між витратами виробництва у та об’ємом випущеної продукції х виражається функцією Визначити середні та граничні витрати при об’ємі продукції 110од.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 22.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Залежність між собівартостю одиниці продукції у (тис.гр..од.) та випуском продукції х (млрд..гр..од.) виражається функцією у = - 0,5х + 180. Знайти еластичність собівартості при випуску продукції на 160 млрд. Гр.. од.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 23.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Об’єм продукції u виконаний бригадою робітників можна задати функцією

де t - час роботи в годинах. Обчислити продуктив ність праці, швидкість та темп її зміни через годину після початку роботи та за годину до її закінчення.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 24.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Дослідницьким шляхом встановлено функції попиту та пропозиції . Де q та s , кількість товару що пропонується та купується напротязі години, р – ціна товару. Знайти : а) рівноважну ціну; б) еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни; в) зміну доходу при збільшенні ціни на 5% від рівноважної.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 25.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Яка залежність між граничними та середніми повними витратами виробництва, якщо еластичність повних витрат дорівнює 1.?

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 26

Для даних функцій обчислити похідні

7. Об’єм продукції u (гр..од.) за період робочого дня виражено функцією де t – час у годинах . Обчислити продуктивність праці через 2 години після початку роботи.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 27.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Залежність між витратами виробництва у (гр..од.) та об’ємом випущеної продукції х (од.) виражено функцією . Визначити середні та граничні витрати при об’ємі продукції 25 од.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 28.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Функції попиту q та пропозиції s від ціни p виражено відповідно рівняннями q = 3 – 2p та s = 2p + 4. Знайти : а) рівноважну ціну, б) еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни, в) зміну доходу (в процентах) при збільшенні ціни на 5% від рівноважної.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 29.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Залежність між витратами виробництва у (гр..од.) та об’ємом випущеної продукції х (од.) виражено функцією . Визначити середні та граничні витрати при об’ємі продукції 50 од.

8. Обчислити похідні n-го порядку

Варіант 30.

Для даних функцій обчислити похідні

7. Залежність між витратами виробництва у (гр..од.) та об’ємом випущеної продукції х (од.) виражено функцією . Визначити середні та граничні витрати при об’ємі продукції 15 од.

8. Обчислити похідні n-го порядку

110