Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Тема4-2.doc
Скачиваний:
4
Добавлен:
03.05.2019
Размер:
242.18 Кб
Скачать

Тема 2. Частинні та повний прирости функції. Частинніпохідні . Повний диференціал. §1. Частинні похідні . Повний диференціал.

Для функції багатьох змінних вводиться поняття частинної похідної по відповідній змінній.

Нехай - довільна фіксована точка з області визначення функції u = f1,…,хn) Надаючи значенню змінної хk приросту , розглянемо границю

Ця границя називається частинною похідною 1- го порядку функції по змінній х k в точці і позначається або .

У випадку функції двох змінних Z = f( x; y) поняття частинної похідної визначається таким чином:

Перша формула визначає частинну похідну по змінній х, а друга - частинну похідну по змінній у.

Обчислення похідних від функцій багатьох змінних виконуються за звичайними правилами диференціювання функцій однієї змінної, при цьому, значення всіх змінних, крім однієї, по якій обчислюється похідна, вважаються сталими.

Для приклада обчислимо частинні похідні функцій:`

а) z = f(x; y)=x 3+y 2 + x y б) u = f(x, y, z) = e x + ln y + z2 x y

Розв’язання

а) При обчисленні частинної похідної по х необхідно змінну у вважати сталою, тому за звичайними правилами диференціювання маємо: f x (x, y) = 3 x2 + y

Аналогічно, обчислюючи частинну похідну по у, вважаємо сталою змінну х: f y (x, y)=2 y + x

б) При обчисленні f x вважаємо у і z сталими f x = e x + z2 y

При обчисленні f y вважаємо сталими х і z

При обчисленні f z вважаємо сталими x i y f z = 2 z x y

Частинний диференціал функції u = f (x; y;…;t ) по х - ( x u ) - це головна частина відповідного частинного приросту

Аналогічно визначаються частинні диференціали функції u по решті змінних.(yu ;…;tu )

Повний диференціал du функції u ( якщо він існує ) - дорівнює сумі всіх її частинних диференціалів, тобто :

Диференційована функція u(x; y;…;t) в точці (x; y;…;t) - це функція , яка в даній точці має повний диференціал.

Наприклад повний диференціал функцій в прикладах а) і б) матиме вигляд:

a) df = f 'x dx + f y dy = (3x2 +y) dx + (2y + x) dy

б) df= f 'xdx + f y dy + f z dz = (ex +z2y) dx+ ( +z2x)dy + 2zxy dz

Для неявно заданої функції f(x; y) = 0 формула її диференціала має вигляд:

Наприклад: f(x; y)=y3 + 2xy2 x + 1 = 0

f x = 2y2 1 ; f y = 3y2 + 4x y;

Наведені приклади наочно показують, що частинні похідні самі є функціями від тих же самих змінних, від яких ці похідні обчислювались. Природно, як і в випадку функції однієї змінної, можна визначити похідні від похідних, або похідні вищих порядків.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]