§4 Застосування елементарних функцій в економічних дослідженнях.

Серед усіх функцій, з якими ми будемо мати справу в подальшій роботі, сама проста та найбільш розповсюджена - лінійна функція y = kx + b. Наприклад.: Задано дві прямі лінії загальними рівняннями -3х + 2у = 4 та х +2у = 12 нехай перша пряма відображає залежність товару, що продається від ціни(так звана крива пропозиції) , а друга пряма нехай показує залежність між товаром який купується і ціною (крива попиту). Необхідно визначити при якій ціні весь запропонований товар буде продаватись, тобто необхідно визначити точку рівноваги та відповідну рівноважну ціну. Неважко бачити, що якщо розв'язати систему даних рівнянь, то отриманий корінь (2;5) і дає шукану відповідь. Якщо ж побудувати обидві прямі в одній і тій же системі координат, то аналогічну відповідь отримаємо як координати точки перетину цих прямих. Y (об’єм товару)

6

5 А(2;5)

2

-4/3 0 2 12 X (ціна)

Розглянемо, як відомості про лінійну функцію використовуються в макро- та мікроекономіці.

Зауважимо спочатку, що мікроекономіка займається аналізом діяльності окремих ланцюгів господарчої системи. Це можуть бути окремі фірми, підприємства, ринки конкретних видів товарів та послуг і т.д. При цьому одне з найважливіших питань мікроекономіки полягає в вивченні взаємодії попиту та пропозиції. Попит на даний товар - це потреба в певній кількості товару, обмежена діючими цінами та платіжездатністю споживачів. Пропозицію можна визначити , як кількість товару, яка може бути представлена на ринку для продажу по даній ціні.

Інтуїтивно ясно, що випуск додаткової продукції потребує додаткових витрат. Щоб заохотити до цього виробника, треба запропонувати йому промислову ціну, тобто пропозиція є деякою функцією від ціни. Якщо позначити пропозицію через S (supply), а ціну через P(price), то відповідну залежність між ними можна записати у вигляді: S = f(P). Ця функція може бути досить складною, і, крім того , пропозиція S може залежати не тільки від ціни на товар P , але і від інших факторів. Ми, однак, цими факторами зараз нехтуємо. В економіці графік залежності пропозиції від ціни називається кривою пропозиції. Оскільки будь якій функції на координатній площині відповідає деяка крива лінія, слово “крива” в даному випадку є просто синонімом “графіка функції”. Крім того, економісти віддають перевагу незалежну змінну P відкладати на вертикальній осі координат, а значення функції S - на горизонтальній осі. Традиція є традиція, і ми будемо їй слідувати. Однак якщо пропозиція S залежить від ціни P , то і навпаки, ціна P залежить від пропозиції S . Це можна записати у вигляді: P = g(S), де g – буде функцією оберненою по відношенню до функції f.

Записана у вигляді P = g(S) крива пропозиції вказує лише на існування зв`язку між P та S. Конкретний вигляд цієї залежності може бути отриманий або із емпіричних даних, або з економічної теорії. Ми , однак, зробимо припущення, що цю залежність можна представити самою простою - лінійною функцією: P = aS + b де а і b - деякі сталі величини, що називаються параметрами і визначаються емпіричним шляхом.

Зрозуміло, що наше припущення про лінійну залежність ціни P від пропозиції S є великим спрощенням дійсності. Однак, по-перше, лінійна функція одна з найпростіших і тому аналізувати її легше, по-друге, це дає нам змогу хоча б трохи наблизитись до розв`язання задачі. Такий прийом , при якому ми виділяємо деякі суттєві риси з реальної задачі, а потім робимо спрощені припущення, отримав назву “моделювання”. При цьому реальність “замінюється” деякою моделлю, досліджуючи яку ми можемо зробити корисні передбачення. Чим ближче модель до дійсності, тим вона складніша і тим точніші передбачення, які можна зробити при її допомозі.

Економічна теорія (та здоровий глузд) підказують, що пропозиція товару зростатиме з ростом ціни. Дійсно, чим вища ціна на товар, тим більше число виробників намагатимуться запропонувати цей товар на ринку. Це в свою чергу означатиме, що функція P = aS + b є зростаючою функцією, тобто а > 0

У

P=aS+b

b

0 X

Дослідимо тепер криву попиту. У відміну від кривої пропозиції вона є спадаючою функцією. Дійсно, якщо ціна на якийсь товар зростатиме, то і кількість проданого товару буде зменшуватись. Можна сміливо стверджувати, що автомобілів класу “Запорожець” продається більше, ніж автомобілів “Роллс-Ройс”. Припустимо також, що криву попиту можна у першому наближенні також уявити прямою лінією. Тоді, криву попиту можна записати у вигляді: P = cD + d , c < 0 , де P - ціна, D - попит (demand), а c i d - сталі величини, тобто параметри. Як і для кривої пропозиції, ми користуємось оберненою функцією, тобто виражаємо ціну Р через попит D.

Графік кривої попиту в лінійному наближенні зображено на малюнку.

У

d

P=cD+d

0 Х

Попит та пропозиція стосуються якогось одного виду товару або групи товарів. Кількість товару в залежності від цього виду може вимірюватись в різних одиницях: автомобілі в штуках, нафтопродукти в тонах і т. д. Для нас, однак, важливо, щоб ці одиниці для попиту та пропозиції були б одні і ті самі. Тому позначивши кількість товару буквою Q(_{лат.”ку”)} , ми можемо криві попиту та пропозиції зобразити на одному графіку.

P пропозиція

P₁

P₀

- попит

0 Q_D Q₀ Q_S Q

В мікроекономіці певну цікавість викликає точка перетину кривих попиту та пропозиції. Ця точка називається точкою рівноваги, а відповідна їй ціна - рівноважною ціною. Такі назви пов`язані з тією обставиною, що в точці рівноваги попит приходить у відповідність з пропозицією, тобто весь запропонований товар знайде свого покупця, і всі бажаючі придбати даний товар мають змогу це зробити.

Не меншу, крім рівноважної ціни , викликають цікавість відхилення ринкової ціни від рівноважної. З малюнку видно, що, якщо ринкова ціна P₁ , більша рівноважної ціни P₀, то і кількість Q_{s -} відповідна пропозиції, більша кількості товару Q_P - відповідній попиту, тобто пропозиція перевищує попит. Наслідком цього буде осідання нереалізованої продукції на складах. В свою чергу це буде змушувати виробників зменшувати ціну на продукцію, тобто ринкова ціна P₁ , буде прямувати до рівноважної ціни P₀. Це явище відомо як “тиск ринку”

Припустимо тепер, що ринкова ціна P₁ менша рівноважної ціни P₀

P

пропозиція

P₀

P₁

_- попит

0 Q_S Q₀ Q_D Q

З малюнку видно, що в такому випадку кількість товару Q_S - відповідній ринковій ціні P₁ , менша кількості товару Q_D - відповідній тій же ринковій ціні P₁. Це в свою чергу означає, що попит перевищує пропозицію. При такій ситуації виробники товару, користуючись дефіцитом, підвищуватимуть ціну, тобто ринкова ціна знову ж прямуватиме до рівноважної ціни P₀.

Необхідно ще раз підкреслити, що модель, яку ми щойно розглянули, дуже спрощує дійсність. По-перше , вона містить припущення про лінійність кривих(функцій) попиту та пропозиції. По-друге, попит та пропозиція залежать не тільки від ціни, але і від ряду інших факторів, деякі з таких факторів ми розглянемо далі при ознайомленні з функцією багатьох змінних.

Макроекономіка в протилежність мікроекономіці, займається аналізом економічної діяльності на національному ( державному рівні). Одним з найважливіших макроекономічних показників, що характеризують успіхи господарчої діяльності, є національний дохід. Підрахунок національного доходу являє собою досить складну задачу. При її розв`язанні використовуються різні по складності моделі. Ми, однак, почнемо з простої двусекторної моделі.

Припустимо, що всю національну економіку можна уявити складеною з двох секторів виробників та споживачів. Виробники - це заводи, різні фірми, фермерські господарства, тобто всі ті, хто виробляє товари та послуги. Виробники в своїй діяльності використовують такі ресурси ,як земля , капітал, живий труд і т.д. Всі ці ресурси відносяться до факторів виробництва і за припущенням належать споживачам. За використання цих ресурсів виробники змушені сплачувати споживачам. Сума всіх таких платежів і становить національний доход. Тут необхідні деякі зауваження:

Кожна фізична особа в більшості випадків належить і до виробників і до споживачів. Наприклад, робітник на заводі - це , зрозуміло, виробник. Завод, однак, сплачує йому за надані ресурси, і, купуючи на заробітну плату товари, робітник стає споживачем.

Приведене вище означення національного доходу може здатися дещо штучним. Слід , однак, відмітити, що будь яке означення має сенс у рамках конкретної моделі і може змінюватись при переході до іншої моделі.

Після цих зауважень повернемось до споживачів та виробників. Гроші, які отримують споживачі, тобто їх доход У, можна поділити на дві частини: придбання товарів та послуг, що називають споживанням С, та заощадження S.

Очевидною буде така рівність Y = C + S

Окрім того , і споживання С, і заощадження S є функціями від доходу У, тому можна записати: C = f(Y), S = g(Y). З рівності Y = C + S, випливає g(Y) = Y - f(Y) ,а також f(Y) = Y - g(Y).

Якщо доходи зростають, то, звісно, зростатиме і споживання, тому функція споживання f - зростаюча.

Припустимо далі , що ця функція лінійна. Тоді її можна записати у вигляді C = aY + b, де а - коефіцієнт, який називають граничною схильністю до споживання, при цьому 0<a<1.

Д ійсно, а > 0, тому як функція споживання зростаюча, і а < 1, тому як споживання - це лише частина доходу У. Величину b - називають автономним споживанням, тобто споживанням при нульовому доході. На побутовій мові це можна назвати проїданням старих запасів. Типовий графік функції споживання зображено на малюнку.

У

b

0 X

аючи функцію споживання і використовуючи співвідношення

Y = C + S,

легко знайти функцію заощаджень S.

Дійсно, S = Y - C = Y - ( aY + b) = ( 1 - a)Y - b,

де (1 - а) - кутовий коефіцієнт, який називають граничною схильністю до заощадження. Оскільки 0< a <1, то ( 1 - а) > 0, а це означає , що функція заощаджень - зростаюча.

Графік цієї функції зображено на малюнку .

S

S=(1-a)Y-b

0 Y

Тут ми стикаємось з ситуацією, коли функція набуває від`ємних значень. Це можна пояснити таким чином. Якщо рівень прибутку зменшується нижче якоїсь певної величини, він припиняє забезпечувати споживання. В цій ситуації починають витрачатись раніш накопичені заощадження. Цей факт і відповідає від`ємним значенням функції заощаджень S.

Просту двухсекторну модель можна зробити більш реалістичною, доповнивши її елементом, який відображатиме капіталовкладення в розвиток виробництва або інвестиції. Схема такої економіки наведена на малюнку.

І-інвестиції

C Виробники Y

Витрати:_{споживання} доходи

_{товарів послуг} :_{платня за фактори}

Споживачі

C Y

S - заощадження

До виробників збігаються два грошових потоки: інвестиції I та витрати споживачів С. Один грошовий потік - доходи споживачів У - витікає. Якщо економіка знаходиться у рівновазі, то повинна виконуватись рівність S =1 тобто всі заощадження інвестуються, звідки зразу витікає Y = C + I, тобто, до виробників збігається стільки ж грошей, скільки і витікає. З припущення, що функція споживання лінійна, витікає, що C = aY + b,,де параметри а і b відомі з емпіричних даних.

Рівень інвестицій I , який планується вкласти в розвиток виробництва, також задано. Таким чином, змінна I, як а і b відіграють роль параметрів моделі. Вони називаються також зовнішніми змінними, на відміну від змінних Y,C,S - внутрішніх змінних моделі, значення яких необхідно визначити, тобто виразити через зовнішні змінні (параметри). Отже, ми маємо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими C i Y:

Y = C + I ; C = aY + b

Розв`язавши цю систему методом підстановки, отримаємо

Ми отримали загальний вираз за допомогою якого можна обчислювати національний доход Y. Підставляючи це значення у функцію споживання , можна знайти величину С.

Для того , щоб якомога більше наблизити нашу модель до реальності, введемо в неї державні витрати та налоги. Обидві ці величини є важелем в руках уряду для регулювання ринкової економіки. Державні витрати G - зовнішня змінна, тобто параметр моделі. Державні витрати додаються до інвестицій, тобто Y = C + I + G. Податки ж зменшують реальний доход на величину Т, тому: C = a(Y - T) + b. Сукупний аналог може бути сталим, тобто Т =Т₀ В цьому випадку це зовнішня змінна, або параметр моделі.

Якщо Т = tY, то Т - внутрішня (що визначається) змінна, а роль параметра відіграє деякий коефіцієнт пропорційності t, який називають ставкою податку.

І нарешті, можливий комбінований випадок, тобто T = tY + T₀ , де Т₀ і t - параметри.

Ми знову маємо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими Y i C. Y = C + I + G

C = a(Y - tY - T₀) + b

Внутрішні змінні Y i C, які визначаються всередині самої моделі. називаються також ендогенними змінними. Відповідно величини I, G i T, які задаються зовні, називаються екзогенними змінними.

На прикладі підрахунку національного доходу проілюстровано як можна починаючи з простої математичної моделі наближати її до реальності, вводячи різні уточнення, тобто методично рухаючись від простого до складного.