§ 2. Знаходження область визначення функції

Множина незалежних змінних хХ називається областю визначення функції

Множина залежних змінних уУ називається множиною значень функції

В залежності від способу задання функції визначають її область визначення і множину значень.

В прикладі, що розглядався в §1., область визначення функції - це множина Х = { 30, 40, 28, 14, 36}, а множина значень функції У = {3000, 4000, 2800, 1400, 3600},сама ж функція - це “ правило” , за яким ми для кожного числа з верхнього рядка таблиці вибираємо число з нижнього рядка яке знаходиться в тому ж стовпці.

Якщо функція задана графічним способом, то областю її визначення є всі ті значення змінної х , які отримаються при ортогональному проектуванні кривої даного графіка функції на вісь OX , а множиною значень при такому способі задання функції будуть всі ті значення змінної у, які отримаються при ортогональному проектуванні кривої даного графіка на вісь OY.

Н априклад:

Y

Е(у) = R⁺

D(y) = R

О Х

Частіше за все числові функції задаються формулами (аналітично). В таких випадках областю визначення будуть всі ті значення змінної х при яких ця формула матиме смисл.

Так, наприклад, необхідно виключити з області визначення

• всі значення х, при яких вираз під знаком радикала парного степеня стає від`ємним

• всі значення х, що приведуть до ділення на нуль

• всі значення х, що приведуть до появи недодатніх чисел під знаком логарифма

Приклад. Знайти область визначення функції

Розв`язання

Враховуючи, що підкореневий вираз повинен бути невід`ємним, отримаємо: 3x - 9  0; 3x  9; x  3;

Остання нерівність і визначає шукану область визначення.

Графічно її можна представити на числовій осі

////////////////////////

3

Приклад. Знайти область визначення функції

Розв`язання

Ми повинні виключити такі значення х, при яких вираз, що стоїть в знаменнику дробу, перетворюється в нуль. Розв`язуючи рівняння x² - 4 = 0 знайдемо його корні: х = 2 і х = - 2

Таким чином, областю визначення функції є вся числова пряма, за винятком двох точок: 2 і -2

Відповідь: D(f)=

Вище вже згадувалось, що числові функції зазвичай задаються формулами. Однак одна і та сама функція в різних частинах своєї області визначення може задаватись різними формулами.

Припустимо, що відбувається закупка товару. Добре відомо, що при закупці великих партій товару часто надається оптова знижка. Нехай вона визначається таким чином: якщо купується партія товару в кількості менше 100 штук, ціна буде 2 гр. од. за штуку; якщо від 100 до 1000 штук, ціна буде 1,95 гр. од. за штуку; якщо ж не менше 1000, ціна буде 1,9 гр. од. за штуку умовного товару. Нас цікавить функція f(x), що визначатиме вартість довільної партії товару. Її можна записати у вигляді системи рівнянь:

Припустимо, нас цікавитиме вартість партії з 700 штук.Тоді f (700) = 1,95  700 = 1365, тобто, для визначення значення функції в точці 700 використовуємо другу формулу системи.