5.Функционалы, зависящие от нескольких функций

В отличие от простейших задач вариационного исчисления рассмотрим общее выражение для функционала, зависящего от функций

где и граничные условия, заданные в виде чисел; непрерывная подынтегральная функция, обладающая непрерывными частными производными до третьего порядка включительно по всем аргументам.

Вариационная задача состоит в определении условий, которым удовлетворяет вектор-функция , доставляющая функционалу (5.1) экстремум при граничных условиях (5.2).

Необходимые условия экстремума для функционала (5.1) можно получить следующим образом. Предположим, что экстремум существует и достигается на функциях . Если зафиксировать все функции, кроме одной , которой будем придавать приращение, то вариация функционала (5.1) будет зависеть только от одной функции и из условия следует уравнение Эйлера для функции

Аналогичные рассуждения относительно любой неизвестной функции позволяют получить необходимые условия экстремума функционала (5.1) в виде системы уравнения Эйлера

Второе необходимое условие экстремума – условие Лежандра – устанавливается, как в простейшей вариационной задаче, на основе неотрицательности (в случае минимума функционала) или неположительности (в случае максимума функционала) второй вариации функционала, зависящего от нескольких функций. Из этого условия вытекает необходимое условие Лежандра - неотрицательность (неположительность) квадратичной формы

в каждой точке экстремали в случае минимума (максимума) функционала (5.1).

Условия Лежандра в том случае, когда на экстремали достигается минимум функционала, можно записать в виде неравенств, выполнение которых обеспечивает неотрицательность формы (5.4)

Необходимые условия минимума функционала (5.1) в форме (5.5) называются условиями Лежандра-Клебша. В случае поиска максимума функционала знаки неравенств (5.5) меняются на обратные.

Условия трансверсальности для вариационных задач с подвижными концами и функционалом, зависящим от нескольких функций, выводятся из рассмотрения дифференциала функционала (5.1), который для случая, когда экстремаль, имеет вид