13.Методы решения. Принцип максимума

Принцип максимума применим к системам или объектам, поведение которых можно описать системой дифференциальных уравнений

где координаты объекта; управления.

Управление движением объекта характеризуется точками некоторой мерной области управления .

В физических системах или объектах управлением некоторые физические параметры, например температура, количество топлива и т.д., на которые накладываются ограничения вида

.

Функции непрерывны по совокупности всех аргументов и непрерывно дифференцируемы по совокупности фазовых координат .

Если выбрать ограниченные, кусочно-непрерывные, с разрывами первого рода функции управления , то при заданных начальных условиях система дифференциальных уравнений (13.1) имеет единственное решение.

В фазовом пространстве , образованном векторами , заданы две точки и . Требуется среди допустимых управлений , которые переводят точку из начального положения в конечное , найти такое управление, для которого функционал

принимает наименьшее возможное значение. Можно показать, что в случае отсутствия ограничений на управления вида (13.2) поставленная задача является частным случаем задачи Майера.

Действительно, если ввести дополнительную функцию так, что

,

и расширить систему дифференциальных уравнений (13.2) за счёт уравнения (13.4), то получим векторное уравнение связи

.

Функционал (13.3) с учётом (13.4) можно записать в виде

.

Вариационная задача Майера формулируется как задача о нахождении управления , при котором решение системы уравнений связи (13.5) при условиях на концах , даёт наименьшее значение на правом конце .

Существенным отличием задачи оптимального управления от классических вариационных задач является наличие ограничений вида (13.2), которые не позволяют применять необходимые условия классического вариационного исчисления.

Принцип максимума Понтрягина, который рассматривается ниже, позволяет решать задачи оптимального управления также и в случае ограничений вида . Этот принцип формулируется следующим образом.

Пусть , - некоторый процесс, который переводит объект из начального состояния в конечное .

Вводится в рассмотрение функция , которая зависит от переменных и некоторых вспомогательных переменных :

.

С помощью функции записывается система дифференциальных уравнений для вспомогательных переменных

.

Для оптимальности управления и траектории необходимо существование такой ненулевой непрерывной вектор-функции

,

соответствующей функциям и , что при любом функция переменного достигает в точке максимума и в конечный момент выполняется условие

, .

С учётом соотношения (13.6) систему дифференциальных уравнений (13.7) можно записать в виде

,

которая имеет единственное решение

при любых начальных условиях для , если выбрано управление и получена фазовая траектория с начальным условием .

Если удовлетворяют системам (13.1) и (13.9), то функции и

переменного являются постоянными и в условии (13.8) конечную точку можно заменить любой другой.

В весьма важном для практики частном случае, когда в функционале (13.3) , имеем задачу об оптимальном быстродействии. Согласно принципу максимума для оптимальных по быстродействию процессов необходимо существование такой ненулевой непрерывной вектор-функции

,

соответствующей функциям и , что для всех функции

переменного достигает максимума в точке и в конечный момент выполняется условие

.

Если величины удовлетворяют системе

,

и выполнено условие максимума, то функция переменного постоянна и условие (13.11) можно проверять при любом значении .

В случаях, когда и функционалы, и уравнения связи линейны как относительно управления, так и относительно фазовых координат или линейны только относительно управления, например имеют вид

, ,

где функции и могут быть нелинейными, принцип максимума позволяет по одному функции найти функции, на которых функция достигает максимума.

Если уравнения движения объекта имеют вид (13.12) и ставится задача о максимальном быстродействии, то согласно (13.10) функция запишется в форме

,

и при наличии ограничения вида можно сделать вывод, что максимум функции достигается на функции

.

В этих случаях принцип максимума позволяет достаточно эффективно решать задачи оптимального управления.

В общем случае, когда функционалы или уравнения связи нелинейны по управлению, применение принципа максимума встречает определенные трудности, так как принцип максимума позовляет установить, что экстремум функционала достигается на кривой, составленной из отрезков экстремалей и отрезков границы области , а условия в точках сопряжения этих отрезков более сложные. чем в вариационном исчислении.

К недостаткам принципа максимума можно отнести требование задания динамики движения объекта или процесса в виде системы дифференциальных уравнений (13.1), т.е.

,

разрешенных относительно производных. В этом отношении методы классического вариационного исчисления имеют преимущество, так как позволяют оперировать с ситемами общего вида, неразрешенными относительно производных.

Рассмотрим применения приницпа максимума. пусть дивжение объекта управления описывается дифференциальным уравнением

,

где . Дифференциальным уравнением (13.13) может описываться, например, процесс движения по горизонтальной прямой материальной точки единичной массы под действием управляющей силы без учёта сил сопротивления.

Уравнения движния (13.13) представим в виде системы дифференциальных уравнений

С помощью принципа максимума решим задачу о быстрейшем попадании материальной точки в начало координат (0,0) из заданного начального состояния . Другими словами, необходимо найти такой закон упарвления , который с максимальным быстродействием переводит материальную точку, имеющу, начальную скорость , из заданного начального положения в начало отсчёта с нулевой скоростью.

Составим для системы уравнений (13.14) функцию согласной соотношению (13.6)

.

Система дифференциальных уравнений для вспомогательных переменных и согласно (13.7) имеет вид

Решая систему для вспомогательных переменных, получаем

где постоянные интегрирования.

Рассматривая функцию (13.15) согласно принципу максимума, находим, что оптимальные управления, доставляющие максимум функции , определяются соотношениями

Это выражение для оптимального управления можно записать в виде

.

С ледовательно, для данной задачи оптимальное управление является кусочно-постоянной функцией, принимающей значения и имеющей не более двух интервалов постоянства, так как функция не более одного раза меняет знак на отрезке .

Фазовый портрет семейства оптимальных траекторий изображён на рис. 13.1. Если начальная точка расположена выше линий AOB, то фазовая точа двигается под воздействием управления подуге параболы, проходящей через начальную точку , до тех пор пока она не попадёт на дугу BO. В момент попадания фазовой точки на дугу BO значение управления переключается на значение и сохраняет свой значение до момента достижения начала координат.