11.Методы решения. Прямые методы

Методы вариационного исчисления, основанные на интегрировании уравнений Эйлера, малоэффективны, так как приводят к трудоёмким вычислениям. Это связано с тем, что дифференциальные уравнения вариационных задач интегрируются в конечном виде лишь в исключительных случаях.

Известен ряд приближенных методов решения вариационных задач, среди которых получили большое распространение для решения прикладных вариационных задач так называемые прямые методы. Сущность прямых методов заключается в том, что вариационная задача рассматривается как предельная для некоторой задачи на экстремум функции конечного числа переменных, которая решается обычными методами.

Действительно, функционал можно рассматривать как функцию бесконечного множества переменных, если учесть, что функции могут быть разложены в бесконечные ряды, например степенные ряды

,

в ряды Фурье

или в ряды вида

,

где заданные функции.

Чтобы представить функцию в виде ряда (11.1), достаточно задать значения всех коэффициентов . Значение функционала в этом случае определяется заданием бесконечной последовательностью чисел Таким образом, функционал является функцией бесконечного множества перемененных . В этом заключается основное различие между вариационными задачами, в которых ищется экстремум функции бесконечного множества переменных, и задачами на экстремум функций конечного числа переменных.

Среди прямых методов наибольшее распространение получили конечно-разностный метод Эйлера, метод Ритца и метод Канторовича.

По методу Эйлера значения функционала

,

,

р ассматриваются не на произвольных кривых, а на ломанных (рис.11.1), составленных из заданного числа прямолинейных звеньев, с заданными абсциссами вершин , ,..., , где . В этом случае функционал (11.2) превращается в функцию ординат вершин ломаной

где .

Если на ломаной линии достигается экстремум, то все частные производные должны быть равны нулю:

.

Ординаты ломаной, которая доставляет экстремум функционалу (11.3), находим из системы уравнений (11.4). Если затем перейти к пределу при , то при некоторых ограничениях, налагаемых на функцию , можно получить решение исходной вариационной задачи (11.2).

Можно показать, что для функционала (11.3) существует дискретный аналог уравнений Эйлера. Рассмотрение членов суммы (11.3) показывает, что от зависят лишь два слагаемых этой суммы: и . Причём -й член содержит непосредственно и в аргументе

,

а -й член содержит только в аргументе

.

С учётом этих обстоятельств имеем

.

Выражение (11.5) преобразуем в форму дискретного аналога уравнения Эйлера

,

где .

Принимая во внимание (11.4), т.е.

,

выражение (11.6) запишем в форме дискретного аналога уравнения Эйлера

.

Переходя к пределу при , получаем уравнение Эйлера

,

которому должна удовлетворять функция , доставляющая экстремум исходному функционалу (11.2). Впервые уравнение Эйлера было получено им именно таким путём, хотя законность предельного перехода не была обоснована.

Недостаток метода Эйлера заключается в трудностях решения системы уравнений (11.4), когда требуется выбрать достаточно большое количество ординат, чтобы получить приемлемую точность вычисления. С целью демонстрации возможностей метода Эйлера рассмотрим следующий пример.

Требуется минимизировать функционал

,

Выбираем дискретный шаг по оси абсцисс . Тогда имеем следующую последовательность ординат: , , , , , и приближённых значений производных: , , , , . Заменяя данный функционал суммой по формуле прямоугольников, получаем функцию четырёх переменных

.

Определив частные производные и приравняв их к нулю, будем иметь

,

,

,

.

Решение данной системы линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными даёт приближённые значения функции, минимизирущей функционал: , , и . С целью оценки погрешности решения приведём точные (до четвертого десятичного знака) значения искомой функции ; ; ; :

Сущность метода Ритца заключается в том, что значения функционала (11.2), т.е.

, ,

рассматриваются не на произвольных допустимых кривых вариационной задачи, а на параметрическом семействе функций

,

где постоянные коэффициенты; ; ; последовательность линейно независимых функций, называемых координатными функциями.

На семействе функций (11.7) исходный функционал (11.2) превращается в функцию переменных

.

Коэффициенты выбираются из условия достижения экстремума функции , т.е. определяются из системы уравнений

.

В случае существования предела функции (11.7) путём предельного перехода при можно получить точное решение исходной задачи. Если ограничиться лишь первыми членами функции (11.7), то получим приближенное решение вариационной задачи.

Если методом Ритца определяется абсолютный минимуму функционала, то приближенное значение функционала находится с избытком, а абсолютный максимум функционала – с недостатком.

Решение системы уравнений (11.8) в общем случае является очень сложной задачей. Выбор последовательности координатных функций существенно влияет на степень сложности вычислений, и от удачного выбора координатной системы функций зависит эффективность применения метода Ритца.

Если граничные условия линейны и однородны, например вида или

где постоянные коэффициенты, то координатные функции следует выбирать так, чтобы они удовлетворяли этим граничным условиям. В этом случае семейство

при любых также удовлетворяет тем же граничным условиям.

Например, если граничные условия , то в качестве координатных функций можно выбрать семейство функций

,

где непрерывные функции, или

.

Если граничные условия неоднородны, например , , где хотя бы одно из чисел и отлично от нуля, то предпочтительнее выбирать систему координатных функций в виде (11.7), т.е.

,

где удовлетворяет заданным граничным условиям ,

, а остальные функции однородным граничным условиям . Такой выбор координатных функций обеспечивает при любых выполнение заданных граничных условий функциями . В качестве примера выбора функции можно предложить линейную функцию вида

.

Недостаток метода Ритца заключается в сложности решения в общем случае системы уравнений (11.8), т.е.

.

В частном случае исследования экстремума квадратичного относительно неизвестной функции и её производных функционала решение задачи методом Ритца значительно упрощается, так как в этом случае уравнения (11.8) линейны относительно .

Вычислительные аспекты метода Ритца можно продемонстрировать на следующем примере.

Требуется минимизировать функционал

,

.

Выбираем систему координатных функций в виде

, , ,

Примем , тогда имеем

,

,

.

Из условия (11.8) получим систему линейных алгебраических уравнений

,

,

решение которой даёт

.

Следовательно, приближенное решение вариационной задачи запишем в виде

.

Для рассматриваемого примера известно точное решение вариационной задачи

.

Оценку точности приближенного решения можно получить сопоставлением с точным решением из таблицы 11.1. По методу Ритца выбирается координатная система функций

приближенное решение вариационной задачи ищется в виде

,

где постоянные коэффициенты.

По методу Канторовича также выбирается система координатных функций (11.9), но приближенное решение ищется в виде

,

Таблица 11.1
	(точное значение)	(приближенное значение)
0.0	0.0000	0.0000
0.2	-0.0278	-0.0285
0.4	-0.0505	-0.0506
0.5	-0.566	-0.0568
0.6	-0.0583	-0.0585
0.8	-0.0444	-0.0442
1.0	0.0000	0.0000

где коэффициенты неизвестные функции одной из независимых переменных.

Исходный функционал в классе функций вида (11.11) превращается в функционал

который зависит от функций одной независимой переменной. Функции выбираются так, чтобы функционал достигал экстремума. Если перейти к пределу при , то при выполнении некоторых условия можно получить точное решение. Если не выполнять предельного перехода, то получаем приближенное решение, более точное, чем при применении метода Ритца с теми же координатными функциями и с тем же числом членов.

Повышение точности при методе Канторовича вызвано тем, что класс функций (11.11) с переменными коэффициентами шире класса функций (11.10) с постоянными коэффициентами и среди функций вида (11.11) с переменными коэффициентами можно подобрать функции с большей точностью, аппроксимирующие решение вариационной задачи, чем среди функций (11.10) с постоянными коэффициентами.