4.Ломаные экстремали
До сих пор рассматривались вариационные задачи, в которых искомая функция предполагалась непрерывной и имеющей непрерывную производную.
В некоторых классах последнее требование может не выполняться и решение достигается на экстремалях, имеющих угловые точки. К числу таких задач принадлежат, например, задачи на отражение и преломление экстремалей, и эти задачи являются обобщением задач на отражение и преломление света.
В задаче об отражении экстремалей требуется найти кривую, реализующую экстремум функционала
и
проходящую через заданные точки
и
таким образом, что кривая должна попасть
в точку
лишь после отражения от заданной линии
(рис. 4.1).
В
точке отражения
левая производная
и правая производная
различны. Поэтому представим функционал
в виде суммы двух интегралов
и
вычислим вариацию каждого из них в
отдельности. На каждом интервале
и
кривые
являются экстремалями и, следовательно,
интегральный член выражения (3.10), т.е.
,
обращается в нуль:
,
.
Необходимое
условие экстремума
в данном случае принимает вид
,
откуда
вследствие произвольности
и
вытекают условия Вейерштрасса-Эрдмана
Эти
условия позволяют определить произвольные
постоянные в уравнениях экстремалей.
На каждом участке в решение уравнений
Эйлера входят произвольные постоянные.
В примере, изображенном на рис. 4.1, на
участке
нужно определить две произвольные
постоянные и на участке
- ещё две постоянные. Всего требуется
четыре уравнения для определения четырёх
произвольных постоянных. Два уравнения
определяются граничными условиями
,
,
а другие два - условиями (4.1).
Дадим
геометрическую интерпретацию условиям
(4.1). Зафиксируем значения
и
и построим для этих значений график
как функцию от
.
Если при
и
экстремаль имеет излом, т.е.
,
то первое из условий Вейерштрасса-Эрдмана
означает, что касательные к кривой
в точках
и
параллельны между собой, так как тангенсы
углов наклона равны, а второе условие
(4.1) означает, что они не только параллельны,
но и совпадают между собой. Следовательно,
изломы возможны лишь в том случае, если
на кривой
существуют две такие точки, через которые
можно провести общую касательную. Если
и
непрерывны по
для всех
и
,
то необходимым условием наличия излома
экстремали является
.
Если
для всех
или
,
то кривая
соответственно вогнута вверх или вниз
и на ней не может быть касательно,
проходящей через две разные точки.
Условие
Вейерштрасса-Эрдмана позволяет уточнить
смысл теоремы Эйлера, которая утверждает,
что если экстремум существует и
достигается в классе кусочно-гладких
функций, то он достигается только на
экстремалях. Экстремалей может быть
бесчисленное множество и теорема Эйлера
оставляет открытой возможность
составления кривой, которая доставляет
экстремум функционалу, из дуг экстремалей,
соответствующих различным значениям
постоянной интегрирования и сопрягающихся
с изломом, или же составления искомой
кривой из различных решений уравнения
Эйлера, если оно имеет несколько решений.
Условия (4.1) устраняют эту неопределенность.
Изломы могут только в том случае, если
или же сама функция
терпит разрыв, а угол излома может быть
лишь таким, чтобы выполнялись условия
(4.1).
Кривая, составленная из решений уравнения Эйлера, так, чтобы выполнялись условия Вейерштрасса-Эрдмана, называется ломаной экстремалью.
В
качестве примера задачи с ломаными
экстремалями рассмотрим задачу о
траектории луча света в неоднородной
среде. Предположим, что траектория луча
света переходит из одной прозрачной
среды в другую, например из воздуха в
стекло. Согласно принципу Ферма, луч
света движется по такой траектории
между точками
и
,
по которой его движение занимает
минимальное время. Если уравнение
траектории светового луча записывается
в виде
,
то за время
луч пройдёт расстояние
,
где
скорости
света в данной среде. Так как
,
то
,
а время движения светового луча
определяется интегралом
.
Траектория
светового луча по принципу Ферма является
экстремалью функционала (4.2). Если в
первой среде
,
то экстремалями функционала (4.2) будут
прямые линии, т.е. в однородной среде
луч света движется по прямой. Если луч
переходит из одной однородной среды в
другую, где имеет другую скорость
распространения
,
то в каждой из сред экстремалями будут
прямые лини. На границе раздела двух
сред подынтегральная функция терпит
разрыв, поэтому экстремаль на границе
может иметь излом, величина которого
определяется условиями (4.1). Расположим
координатные оси так, что, чтобы граница
раздела была параллельная оси
.
Тогда при вариации положения точки
излома вариация
будет равна нулю. В этом случае для
обращения вариации функционала в нуль
достаточно выполнения первого условия
(4.1). Слева от точки излома
,
а справа
.
Так как
,
то из условия Вейерштрасса-Эрдмана следует
,
т.е.
отношение синуса угла падения
к синусу угла преломления
есть величина постоянная и равная
показателю преломления второй среды
относительно первой. Это известный
закон физики – закон преломления,
который, пользуясь вариационным
исчислением, можно вывести из принципа
Ферма.