5.1 Критерии жёсткости

Жесткость — это способность системы сопротивляться дей­ствию внешних нагрузок с наименьшими деформациями. Для машино­строения можно сформулировать следующее определение: жесткость — это способность системы сопротивляться действию внешних нагрузок с дефор­мациями, допустимыми без нарушения работоспособности системы. Понятием, обратным жесткости, является упругость, т.е. свойство системы приобретать относительно большие деформации под действием внешних нагрузок. Для машиностроительных конструкций наибольшее значение имеет жесткость. Однако в ряде случаев важным свойством оказывается и упругость (пружины, рессоры и другие упругие детали).

Жесткость оценивают коэффициентом жесткости, представляющим собой отношение силы Р, приложенной к системе, к максимальной деформации f, вызываемой этой силой.

Для случая растяжения-сжатия бруса постоянного сечения в пределах упругой деформации, коэффициент жесткости согласно закону Гука

, (5.1)

где F - сечение бруса, мм²; l - длина бруса в направлении действия силы, мм.

Обратную величину

(5.2)

характеризующую упругую податливость бруса называют коэффициентом упругости.

Определенный по относительной деформации ( ) коэф­фициент жесткости (5.3)

представляет собой условную нагрузку в (Н), вызывающую относительную деформацию е = 1. Соответствующий коэффициент упругости

(5.4)

представляет собой относительную деформацию при приложении на­грузки 1Н .

Для случая кручения бруса постоянного сечения коэффициент жесткости равен отношению приложенного к брусу крутящего момента Т к вызываемому этим моментом углу [рад] поворота сечений бруса на длине l [мм], где J_p — полярный момент инерции сечения бруса.

, (5.5)

Для случая изгиба бруса постоянного сечения коэффициент жесткости

(5.6)

где J - момент инерции сечения бруса, мм⁴; l - длина бруса, мм;

а — коэффициент, зависящий от условий нагружения.

Таблица 5.1 Жёсткость при различных схемах изгиба

В табл. 5.1 приведены значения коэффициента жесткости для нескольких случаев нагружения изгибом. За единицу принято значение , соот­ветствующее изгибу двухопорного бруса, нагруженного сосредоточенной силой Р в середине пролета.

Как видно из табл. 5.1, жесткость системы сильно зависит от условий приложения нагрузки. Брус, нагруженный равномерно распределенной нагрузкой, обладает в 1,5 раза большей жесткостью, чем брус, нагру­женный сосредоточенной нагрузкой той же суммарной величины. Еще большее влияние на жесткость имеют тип и расположение опор. Например, жесткость двухопорного бруса с заделанными концами в 4-8 раз пре­вышает жесткость бруса, свободно опертого по концам. Жесткость консольного бруса, нагруженного сосредоточенной силой, составляет только 0,063 жесткости двухопорного бруса той же длины, нагруженного той же силой посредине пролета.

При заданной величине нагрузки и заданных линейных размерах системы жесткость вполне определяется величиной максимальной дефор­мации f. Эту величину часто применяют для практической оценки деформативности геометрически одинаковых систем.

Факторы, определяющие жёсткость конструкций

Жесткость конструкций определяют следующие факторы:

модуль упругости материала (модуль нормальной упругости Е при растяжении-сжатии и изгибе, модуль сдвига G — при кручении);

геометрические характеристики сечения деформируемого тела (сечение F при растяжении-сжатии, момент инерции J при изгибе, полярный момент инерции J_p при кручении); линейные размеры деформируемого тела (длина l); вид нагрузки и тип опор [фактор а в формуле (5.1)].

Модуль упругости является устойчивой характеристикой металлов, мало зависит от термообработки и содержания (в обычных количествах) легирующих элементов и определяется лишь плотностью атомно-кристаллической решетки основного компонента. Из технических металлов только W, Мо и Be имеют повышенный модуль упругости (соответ­ственно Е= 40, 35 и 31*10⁴ МПа).

Однако применение того или иного материала по большей части определяется условиями работы детали. Поэтому главным практическим средством увеличения жесткости является маневрирование геометрическими параметрами системы.

На жесткость сильно влияют размеры и форма сечений. В случае растяжения-сжатия жесткость пропорциональна квадрату, а при изгибе — четвертой степени размеров сечения (в направлении действия изгибающего момента).

Влияние линейных размеров детали невелико для случая растя­жения-сжатия (жесткость обратно пропорциональна первой степени длины)и очень значительна при изгибе (жесткость обратно пропорциональна третьей степени длины).

Конструктивные, факторы, влияющие на жесткость, можно объединить в показателях [см. формулы (5.1), (5.6)]: при растяжении-сжатии = F/l, при изгибе . Для бруса круглого сечения в случае растяжения-сжатия и в случае изгиба . Условие равножесткости для брусьев с различными значениями l и d, нагруженных одинаковой силой Р: при растяжении-сжатии d²/l= const, при изгибе d⁴/l³ = const. На жесткость конструкции косвенно влияет прочность материала. При прочих равных условиях деформации пропор­циональны напряжениям. Но величину напряжений принимают, как правило, пропорционально прочности материала; напряжения представляют собой отношение предела прочности (или предела текучести) к коэффициенту надежности. Следовательно, чем выше прочность материала, тем больше величина принимаемых напряжений и при прочих равных условиях больше деформация системы. Напротив, чем меньше запас прочности и ближе величина действующих в системе напряжений к пределу проч­ности, тем больше деформация и меньше жесткость системы.

Наиболее простой способ уменьшения деформаций заключается в умень­шении уровня напряжений. Однако этот путь нерационален, так как он сопряжен с увеличением массы конструкции. В случае изгиба рациональным способом уменьшения деформаций является целесообразный выбор формы сечений, условий нагружения, типа и расстановки опор. Поскольку влияние линейных параметров системы при изгибе велико [формула (5.6)], то в данном случае имеются эффективные способы увеличения жесткости, позволяющие уменьшить деформации системы в десятки раз по сравне­нию с исходной конструкцией, а иногда практически полностью ликви­дировать изгиб.

В случае кручения эффективными средствами повышения жесткости являются уменьшение длины детали на участке кручения и, особенно, увеличение диаметра, так как полярный момент инерции возрастает пропорционально четвертой степени диаметра. В случае растяжения-сжатия возможность увеличения жесткости гораздо меньше, так как форма сечения не играет никакой роли, а деформации зависят только от площади сечения, которая определяется условием прочности. Единственным спо­собом повышения жесткости здесь является уменьшение длины детали. Если же длина задана, то остается только переход на материалы с более высоким модулем упругости.

Величина деформации зависит не только от максимального действующего в системе напряжения в опасном сечении детали, но и от закона распре­деления напряжений по всем остальным сечениям, т. е. от формы детали по ее длине. Равнопрочные детали (у которых максимальные напряжения во всех сечениях одинаковы) обладают наименьшей жесткостью.

Жесткость за пределами упругих деформаций. На практике приходится учитывать возможность появления пластических деформаций. Даже в сис­темах, рассчитанных на работу в пределах упругости, нередко возникают местные пластические деформации в слабых местах конструкции, на участках концентрации напряжений и в элементах, неблагоприятно рас­положенных относительно действующих сил, и т. д. Общие или местные пластические деформации могут возникнуть на перегрузочных режимах. Важно, чтобы эти деформации не нарушали работоспособность детали.

Жесткость тонкостенных и составных конструкций. В тонкостенных, в частности оболочковых, конструкциях особое значение имеет устой­чивость системы. Конструкции такого рода склонны в известных усло­виях при напряжениях, безопасных с точки зрения номинального расчета на прочность и жесткость, подвергаться резким местным или общим деформациям, носящим характер внезапного крушения.

Главным средством борьбы с потерей устойчивости (наряду с повыше­нием прочности материала) является усиление легко деформирующихся участков системы введением местных элементов жесткости или связей между деформирующимися участками и узлами жесткости.

В составных конструкциях (в системах из нескольких деталей, соеди­ненных на неподвижных посадках) жесткость зависит также от такого фактора, редко учитываемого, но имеющего на практике большое значение, как жесткость узлов сопряжения. Наличие зазоров в узлах сопряжения приводит к появлению деформаций, иногда во много раз превосходящих собственные упругие деформации элементов конструкции. В подобных узлах следует обращать особое внимание на жесткость крепления и заделки деталей.

Эффективными способами увеличения жесткости составных систем являются силовая затяжка узлов сочленения, посадка с натягом, увеличе­ние опорных поверхностей и придание деталям повышенной жесткости на участках сопряжения.