5.2 Удельные показатели жёсткости

При сравнении жесткости, прочности и массы деталей, изготовленных из различных материалов, следует различать четыре основных случая:

1. Детали одинаковы по конфигурации (при равной нагрузке имеют одинаковые напряжения);

2. Детали равножесткие (имеют одинаковые деформации при различ­ных сечениях и напряжениях);

3. Детали равнопрочные (имеют одинаковый запас надежности, различ­ные сечения и напряжения, пропорциональные пределу прочности мате­риала) ;

4. Детали имеют одинаковую массу.

Первый случай (замена материала детали другим без изменения ее геометрических размеров) практически встречается, когда сечения детали заданы технологическим процессом (например, литые корпусные детали). Это также случай нерасчетных деталей с неопределенными напряжениями. Второй и третий случай имеют место при замене материала детали другим с одновременным изменением ее сечений (расчетные детали, в которых напряжения и деформации определяются достаточно точно и назначаются с расчетом максимального использования прочности и жесткости материала). Четвертый случай — это случай, когда масса кон­струкции задана ее функциональным назначением и условиями эксплуата­ции.

При сравнении прочностных, массовых и жесткостных показателей деталей, изготовленных из различных материалов, будем предполагать, что длина деталей одинакова, а сечения в последних трех случаях изменяются геометрически подобно.

1. Детали одинаковой конфигурации (а = const). В случае растяжения-сжатия относительный коэффициент жесткости согласно формуле (5.3) = EА, где А — сечение детали; Е — модуль нормальной упругости.

По условию F= const. Следовательно, = const E т.е. жесткость деталей в данном случае зависит только от величины модуля упругости. Запас надежности

n = , где — предел прочности на растяжение; — действующее в детали напряжение. По условию = const. Следовательно, п = const Масса детали

G = yАl = const , где — плотность материала. Совершенно аналогичны соотношения в случае изгиба и кручения, той лишь разницей, что при кручении жесткость детали определяется «величиной модуля сдвига.

2. Равножесткие детали ( = const). Условие равножесткости в случае растяжения-сжатия согласно формуле (5.1)

Следовательно, (5.7)

Масса равножестких деталей .

Напряжения .

С учетом выражения (5.7) , запас надёжности .

При изгибе масса равножёстких деталей .

Запас надежности .

3. Равнопрочные детали (n = const). Условие равнопрочности при рас­тяжении-сжатии .

Ввиду того, что , (5.8)

и масса ;

Коэффициент жесткости с учетом формулы (5.8) .

При изгибе ; .

4. Детали равной массы (G = const). Условие равной массы при растя­жении-сжатии G = Аl = const. Следовательно, А = const/ .

Напряжения . Запас надёжности .

Коэффициент жёсткости . При изгибе ; .

Для сравнительных целей пользуются наиболее простыми формулами для растяжения-сжатия.

Показатели массы, жесткости и прочности при растяжении-сжатии для всех разобранных выше случаев приведены в табл.5.2. Значения удельной прочности n/G = и удельной жесткости /G = Е/ одинаковы для всех категорий деталей.

Таблица 5.2 . Характеристики массы, прочности и жесткости

Детали	Масса, G	Прочность, п	Жесткость,
Одинаковой конфигурации			Е
Равножесткие	у/Е	/Е	const
Равнопрочные		const	Е/
Равной массы	const		E/

5.3 Конструктивные способы повышения жёсткости [36]

Главные конструктивные способы повышения жесткости без суще­ственного увеличения массы:

всемерное устранение изгиба, замена его растяжением или сжатием;

для деталей, работающих на изгиб, — целесообразная расстановка опор, исключение невыгодных по жесткости видов нагружения;

рациональное, не сопровождающееся возрастанием массы, увеличение моментов инерции сечений;

рациональное усиление ребрами, работающими предпочтительно на сжатие;

усиление заделочных участков и участков перехода от одного сечения к другому;

блокирование деформаций введением поперечных и диагональных связей;

привлечение жесткости смежных деталей;

для деталей коробчатого типа — применение скорлупчатых, сводчатых, сферических, яйцевидных и тому подобных форм;

для деталей типа дисков — применение конических, чашечных, сфери­ческих форм; рациональное оребрение, гофрирование;

для деталей типа плит — применение арочных, коробчатых, двутельных, ячеистых и сотовых конструкций.

Замена изгиба растяжением-сжатием

Повышенная жесткость деталей, работающих на растяжение-сжа­тие, в конечном итоге обусловлена лучшим использованием материала при этом виде нагружения. В случае изгиба и кручения нагружены преи­мущественно крайние волокна сечения. Предел нагружения наступает, когда напряжения в них достигают опасных значений, тогда как сердце­вина остается недогруженной. При растяжении-сжатии напряжения одина­ковы по всему сечению; материал используется полностью. Предел на­гружения наступает, когда напряжения во всех точках сечения теорети­чески одновременно достигают опасного значения. Кроме того, при растяжении-сжатии деформации детали пропорциональны первой степени ее длины. В случае же изгиба действие нагрузки зависит от расстояния между плоскостью действия изгибающей силы и опасным сечением; деформации здесь пропорциональны третьей степени длины.

Сравним консольную балку круглого сечения (d = 20 мм), нагруженную изгибающей силой Р (рис. 5.3.1), и треугольную ферму с одинаковым вылетом l, составленную из стержней того же диаметра. Верхний стержень фермы под действием силы Р работает на растяжение, нижний - на сжатие. При соотношениях, показанных на рисунке, максимальное напряжение изгиба в балке в 550 раз больше напряжений в стержнях фермы, а макси­мальная деформация (в точке приложения силы Р) больше в 9 *10³ раз.

Рис. 5.3.1

Жёсткость, прочность и масса треугольной ферменной системы и консольных балок

Для того, чтобы сделать системы равнопрочными, необходимо увеличить диаметр балки до 165 мм (рис. 5.3.1, б). При этом масса балки (не считая заделочного участка) становится в 25 раз больше массы фермы, а максимальный прогиб оказывается в 2 раза больше прогиба фермы.

Для достижения одинаковой жесткости (равенство максималь­ных прогибов) необходимо увеличить диаметр балки до 200 мм (рис. 5.3.1, в). Напряжения снижаются, составляя 0,6 величины напряжений в стержнях фермы.

Связь между прогибом f_б консольной балки круглого сечения в плоско­сти приложения силы и прогибом f_ф ферменной системы при одинаковых сечениях можно выразить соотношением ,

где l - длина вылета; d — диаметр стержней балки и фермы; а - половина угла при вершине ферменного треугольника.

О тношение f_б / f_ф в функции угла а для различных значений l/d при­ведено на рис. 5.3.2, а. При одинаковости сечений прогиб консольной балки может быть в сотни .и тысячи раз больше прогиба ферменной системы. Разница резко возрастает с увеличением отношения l/d, т. е. относительным утонением стержней. Однако и для наиболее жестких стержней (l/d = 10) разница в пользу ферменной системы весьма велика.

Рис. 5.3.2

Сравнительные характеристики консольной балки и треугольной ферменной системы

Отношение f_б / f_ф имеет пологий максимум при а = 45 — 60°. В этом диапазоне фермы типа, приведенного на рис. 5.3.1, обладают наибольшей жесткостью. Напряжения (рис. 5.3.2, б) в балке во много раз больше напряжений в стержнях (например, при а = 45° в 100 — 1000 раз).

Рис. 5.3.3

Конструкции литых кронштейнов

Конструктивную аналогию системам, изображенным на рис. 5.3.1, пред­ставляет литой кронштейн (рис. 5.3.3). Жесткость узлов соединения стержней в раскосном кронштейне видоизменяет условия их работы по сравнению с чистой фермой, в которой стержни соединены шарнирами; все же в случае раскосного кронштейна (рис. 5.3.3, б) стержни работают преимущественно на растяжение-сжатие, тогда как балочный кронштейн (рис. 5.3.3, а) подвергается изгибу. Конструкция становится еще более прочной и жесткой, если стержни кронштейна соединить сплошной перемычкой', связывающей их в жесткую систему (рис. 5.3.3, в).

Кронштейн ферменного типа с вертикальным верхним стержнем (рис. 5.3.3, г) значительно менее жесткий, чем кронштейн на рис. 5.3.3, б, так как конец вертикального стержня под нагрузкой перемещается приблизи­тельно по направлению действия силы и для ограничения деформаций его жесткость не используется.

Рис. 5.3.4

Консольные тонкостенные системы

В тонкостенном цилиндрическом отсеке, несущем поперечную нагрузку Р (рис. 5.3.4, а), все участки, расположенные по образующим, подвергаются изгибу. Нагрузку воспринимают преимущественно боковые стенки (рис. 5.3.4, б), параллельные плоскости действия изгибающего момента (зачернены на рисунке), так как их жесткость в этом направлении во много раз больше жесткости стенок, расположенных перпендикулярно плоскости действия момента.

При конической форме (рис. 5.3.4, в, г), приближающей конструкцию к ферменной (рис. 5.3.1), стенки конуса, расположенные в плоскости дей­ствия изгибающего момента, работают: верхние на растяжение, а нижние подобно подкосу — на сжатие. Боковые стенки испытывают преимуще­ственно изгиб; их жесткость соизмерима с жесткостью верхних и нижних стенок. Следовательно, при конической форме стенки отсека полностью включаются в работу; прочность и жесткость конструкции увеличиваются.

Связь между растянутыми и сжатыми стенками осуществляют кольца жесткости т, п, которые помимо силового замыкания предотвращают овализацшо конуса под действием нагрузки. Такие кольца являются непременным условием правильной работы тонкостенных отсеков.

Близки к конусам по жесткости тюльпанные (рис. 5.3.4, д), сферические (рис. 5.3.4, е), тороидные (рис. 5.3.4, ж) и аналогичные формы.

Еще пример устранения напряжений изгиба показан на рис. 5.3.5. Здесь двухопорная балка, подвергающаяся изгибу (рис. 5.3.5, а), заменена более выгодной стержневой системой (рис. 5.3.5, б), наклонные стержни которой работают на сжатие, а горизонтальные — на растяжение. Близка к этому случаю арочная балка (рис. 5.3.5, в), работающая также преимущественно на сжатие.

Р ис. 5.3.5. Схемы свободно опертой балки (а), стержневой системы (б), и арочной балки (в)

Блокирование деформаций

В общей постановке вопроса задача увеличения жесткости заклю­чается в том, чтобы найти точки наибольших перемещений системы, деформируемой под действием нагрузки, и предотвратить эти перемеще­ния введением элементов растяжения-сжатия, расположенных по направле­нию перемещений. Классическим примером решения этой задачи является увеличение жесткости рам и ферменных конструкций раскосами.

Жесткость стержневой рамы, подвергающейся действию сдвигающих сил Р (рис. 5.3.6, д), крайне незначительна и определяется только сопротив­лением вертикальных стержней изгибу и жесткостью узлов соединения стержней. Введение косынок (рис. 5.3.6, б), приближает схему работы стерж­ней к схеме работы заделанных балок и несколько уменьшает дефор­мации.

Наиболее эффективно введение диагональных связей (раскосов), работающих на растяжение или сжатие. Раскос растяжения (рис. 5.3.6, в) должен при перекосе рамы удлиниться на величину ∆. Так как жесткость растягиваемого стержня во много раз больше изгибной жесткости верти­кальных стержней, то общая жесткость системы резко возрастает. Ана­логично действует раскос сжатия (рис. 5.3.6, г). Но в этом случае необходимо считаться с возможностью продольного изгиба сжатого стержня, что делает систему менее желательной.

Рис. 5.3.6. Схемы действия диагональных связей

Если нагрузка действует по­переменно в обоих направлениях, то применяют раскосы перекрест­ные или чередующегося направле­ния (рис. 5.3.6, д и ё).

В порядке возрастающей жесткости на рис. 5.3.7, а…и представлены схемы плоских ферм и на рис. 5.3.7, к..н — сложных плоских ферм с уси­ливающими элементами, предотвращающими продольный изгиб и потерю устойчивости стержней.

Рис. 5.3.7. Плоские фермы

Консольные и двухопорные системы

Если по конструкции и функциональному назначению детали нельзя избежать изгиба, то на первый план выступает задача уменьшения деформаций и напряжений изгиба.

На рис. 5.3.8 изображены основные схемы изгиба балок: консольной (а), опертой по концам (б) и с заделанными концами (в).

Из сопоставления величин максимальных изгибающих моментов и прогибов видно большое преимущество двухопорных балок в сравнении с консольной по жесткости и прочности. При одинаковых длине сечении балок и нагрузке максимальный изгибающий момент (а следовательно, и максимальные напряжения изгиба) в двухопорной балке в 4 раза а в двухопорной (заделанной) в 8 раз меньше, чем в консольной. Еще больше преимущества по жесткости. Максимальный прогиб двухопорной балки в 16 раз, а двухопорной заделанной - в 64 раза меньше, чем консольной. Практически различие между двухопорными и консольными деталями выражено не так резко, как в приведенном схематическом сравне­нии. В сравнимых конструктивных вариантах консольной и двухопорной балок длина консоли редко бывает равной расстоянию между опорами в двухопорной балке; чаще всего она значительно меньше.

В консольной (г) и двухопорной (д) установке вала-шестерни по габа­ритным условиям расстояние между опорами в двухопорной установке не удается сделать меньшим 2l, вследствие чего оба варианта приходится сравнивать на базе различных, а не одинаковых, как в предыдущем случае, длин.

Максимальный изгибающий момент при двухопорной установке в 2 раза меньше, чем в консольной. Выигрыш в максимальных напря­жениях изгиба гораздо больше, потому что момент сопротивления в опасном сечении (в плоскости действия силы Р) двухопорного вала значительно больше момента сопротивления в опасном сечений (в плоско­сти переднего, ближайшего к нагрузке подшипника) консольного вала. При соотношениях, приведенных под рис. 5.3.8, напряжения в опасном сечении двухопорного вала в 5 раз меньше, чем в консоли.

Максимальный прогиб двухопорного вала формально в 2 раза меньше прогиба консольного вала, а если учесть большую величину момента инерции сечения двухопорного вала по сравнению с моментом инерции J консольного вала, то фактически еще меньше (при соотношениях, при­веденных под рисунком — в 6,5 раза).

Рис. 5.3.8. Схемы нагружения:

а) ; ; б) /4; ; в) /8; .

Нагрузка на подшипники двухопорного вала меньше нагрузки на перед­ний подшипник консольного вала Р (1 + l/L) в 2 (1 + l/L) раза.

Еще благоприятнее соотношения для двухопорного вала с заделанными концами. Реальное приближение к этому случаю можно получить увели­чением жесткости опор, например применением роликовых подшипников и усилением стенок корпуса

(рис. 5.3.8 , е). В данном случае максимальный изгибающий момент меньше в 4 раза по сравнению с консолью и в 2 раза по сравнению с двухопорным валом, установленным на шарико­вых подшипниках. Максимальный прогиб вала на жестких опорах соот­ветственно меньше в 8 и 4 раза (без учета различия величин J и J').

Однако при коротких и жестких валах повышение жесткости опор практически не дает выгоды, так как жесткость вала стирает разницу между схемами валов свободно опертого и с заделанными концами.