Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа: сумма токов, приходящих к узлу электрической цепи, равна сумме токов, уходящих от этого узла, или алгебраическая сумма в узловой точке электрической цепи равна нулю, причем приходящие к узлу токи считаются положительными, а уходящие от узла токи – отрицательными.

Второй закон Кирхгофа: во всякой замкнутой электрической цепи алгебраическая сумма всех ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжения в сопротивлениях, включенных последовательно в эту цепь:

При составлении уравнений выбирают направление обхода цепи и произвольно задаются направлениями токов. Суммируя, ЭДС одного направления берут со знаком плюс, а ЭДС противоположного направления - со знаком минус.

Соединение источников электрической энергии:

ε _{1 + - -} ε_{2 +} - _{+ -} ε₁ - + ε₂

согласное встречное

Обычно замкнутая цепь является частью сложной цепи (рис, 7). Замкнутая цепь обозначена буквами а, б, в, г. Из-за ответвлений в точках а, б, в, г токи I₁, I₂, I₃, I₄ отличаясь по значению, могут иметь разное направление. Для такой цепи можно записать:

При параллельном включении источников энергии токи,

проходящие в них неодинаковы. Если два параллельно

соединенных источника замкнуть на какое-либо

внешнее сопротивление, то токи во внешней цепи и источниках

можно определить из выражений (по рис. 8)

в

Рис.8 Параллельное соединение источников энергии

,

Перед составлением уравнений по законам Кирхгофа следует произвольно задаваться направлениями токов в ветвях, показав их на схеме стрелками. Если действительное направление тока в какой-либо ветви противоположно выбранному, то после решения уравнений этот ток получится со знаком минус. Число необходимых уравнений равно числу известных токов, причем число уравнений составленных по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа узлов цепи; остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа, причем следует выбрать наиболее простые контуры так, чтобы каждый из них содержал хотя бы одну ветвь, не входящую в ранее составленные уравнения.

Так число неизвестных токов три, то необходимо составить три уравнения. При двух узловых точках необходимо одно узловое уравнение по первому закону Кирхгофа: . Второе уравнение напишем при обходе контура, состоящего из первого источника и сопротивления нагрузки: . Аналогично запишем и третье уравнение: , подставляя числовые значения и решая систему уравнений находим неизвестные величины.

На законах Кирхгофа основываются все методы расчета цепей постоянного и переменного тока.

Расчет электрических цепей

Расчет линейной цепи постоянного тока сводится, как правило, к нахождению токов и напряжений всех элементов цепи, причем в основе расчета лежат законы Кирхгофа. В некоторых случаях нахождение токов в цепях можно производить без исходных уравнений, используя метод эквивалентных преобразований последовательного, параллельного и смешанного соединений элементов.

Расчет сложных электрических цепей обычно ведется с помощью рационализированных методов, основанных на свойствах наложения, взаимности и компенсации.

В реальных электрических цепях о линейности характеристик элементов можно говорить лишь с определенным приближением. И расчет нелинейных цепей постоянного тока отличается от расчета линейных цепей в первую очередь тем, что необходимо решать системы нелинейных уравнений. Для этого применяют различные графические, аналитические и графоаналитические методы расчета.

И ногда соединение резисторов в более сложных цепях постоянного тока не сводится к последовательному или параллельному соединению, а образуют группы из трех элементов - треугольник или звезда (рис.9). Эквивалентное преобразование треугольника в звезду определяется формулами:

а звезды в треугольник

При одинаковых сопротивлениях резисторов

В электрических цепях постоянного тока справедливо уравнение баланса мощностей

т. е. мощность, потребляемая цепью от источника постоянного тока, равна сумме мощностей всех потребителей. Это уравнение используется также для проверки правильности расчета цепей.

С помощью законов Кирхгофа составляются уравнения электрического состояния для узлов и контуров цепи. Число исходных расчетных уравнений равно числу ветвей, т. е. может быть достаточно велико. Поэтому чаще всего применяют рационализированные методы расчета.

При наличии нескольких источников в цепи имеется возможность свести расчет к цепи с одним источником, используя метод наложения. В этом случае токи в каждой ветви цепи, создаваемые каждым источником, находят независимо друг от друга, а затем суммируют.

Например, рассмотрим цепь, изображенную на (рис.10).

Общее сопротивление цепи R = R₁ + R₂ + R₃ + R₄.

Допустим сначала, что ЭДС первого источника не равно нулю,

а второго и третьего равно нулю. Затем предположим, что ЭДС второго источника не равно нулю, а первого и третьего равно нулю. И, наконец, полагаем, что ЭДС третьего источника не равно нулю, а первого и второго равно нулю.

В первом случае ток в цепи, совпадающий по направлению

с ЭДС первого источника равен

Рис.10 Электрическая цепь

Во втором случае ток в цепи, совпадающий по направлению ЭДС второго источника равен

В третьем случае ток так же совпадает по направлению с ЭДС третьего источника и он равен

Так как ЭДС первого и третьего источников совпадают по направлению в контуре, то их токи так же совпадают, а ток от второго источника имеет противоположное направление, т. к. ЭДС направлена встречно по отношению к ЭДС первого и второго источников. Следовательно, ток в цепи равен

При расчете сложных цепей для определения токов во всех ветвях цепи необходимо знать сопротивления ветвей, а так же значение и направление всех ЭДС.

В цепях с несколькими независимыми контурами (мостовая схема на рис.10) используется метод контурных токов, который позволяет уменьшить количество исходных уравнений до числа независимых контуров:

Предполагают, что в ветвях, входящих в состав двух смежных контуров, протекают два контурных тока, из которых первый представляет собой ток одного из смежных контуров, а второй - другого контура. Действительный ток определяется суммой или разностью этих двух токов в зависимости от их взаимного относительного направления.

Рис.11 Мостовая схема цепи постоянного тока

Уравнения составляют исходя из суммы сопротивлений, входящих в состав данного контура, и суммы сопротивлений, входящих в состав ветви общей для смежных контуров. Если контур содержит несколько источников, уравнение записывается на основании второго закона Кирхгофа.

В цепях, в которых число узлов меньше числа контуров (дифференциальная схема на рис.12), используется метод узлового напряжения, при котором число исходных уравнений меньше на единицу числа узлов:

Если необходимо исследовать режим работы

т

2

олько одной из ветвей сложной цепи,

то используют метод эквивалентного источника.

В этом случае вся остальная схема рассматривается

относительно данной ветви как источник

ЭДС U_x с внутренним сопротивлением R_в.

Т

Рис.12 Дифференциальная схема

ок в исследуемой ветви

, где R – сопротивление ветви,

а параметры эквивалентного источника связаны между собой соотношением , причем ток соответствует току источника при коротком замыкании ветви.

Если в выделенной ветви имеется источник, то ток в ней вычисляется по формуле

,

причем знак ЭДС выбирается по ее направлению относительно напряжения холостого хода.

Если сопротивление какого-либо элемента зависит от тока или приложенной разности потенциалов, то такой элемент называется нелинейным, а цепи, в которых имеется хотя бы один нелинейный элемент, - нелинейными электрическими цепями. В сложных нелинейных цепях со смешанным соединением элементов используют графические методы расчета с применением правил преобразования схем.