4. Контрольні питання

1. На чому базується метод найменших квадратів?

2. Які види помилок використовуються як норми, щоб виміряти наскільки далеко від даних лежить крива, що їх апроксимує?

3. По якій формулі визначають середньоквадратичну помилку?

4. По якій формулі визначають середню помилку?

5. Яку помилку мінімізує лінія, побудована методом найменших квадратів?

Лабораторна робота № 3 Обчислення поліномів за допомогою чисельних методів. Метод Горнера.

Мета роботи: Навчитися визначати значення поліномів методом Горнера.

1. Теоретичні відомості

Методика рішення алгебраїчного рівняння

Ми зупинимося тут докладніше на методиці рішення алгебраїчного рівняння, тобто рівняння виду: , ліву частину якого будемо позначати також через ; нагадаємо, що мова йде тільки про речовинні коріння.

При роботі тої або іншої процедури часто виникає необхідність обчислити значення при якімсь ; організацію обчислення значення зручно проводити за схемою Горнера: будується рекурсія де , , так що .

Далі помітимо, що з алгебри відомо наступне: існує проста формула, по якій установлюється інтервал (-R,R) такий, що якщо рівняння має який-небудь (нагадуємо: речовинний!) корінь, то він виявляється усередині цього інтервалу, а саме:

,

де .

Припустимо тепер, що відносно похідній багаточлена відомі інтервали її знакопостоянства, тобто такі точки , що на ділянках функція знак не міняє, а проходячи через кожну із крапок міняє знак. Неважко обґрунтувати в цій ситуації наступні висновки: 1) якщо усередині інтервалу (-R,R) крапок немає взагалі й , те корінь (нагадуємо: речовинний!) у рівняння немає; 2) якщо в інтервалі (-R,R) крапки виявилися, то треба прорахувати в цих крапках і в крапках ; якщо серед цих значень нуля немає й всі вони мають той самий знак, то корінь (нагадуємо: речовинних!) рівняння не має; якщо ж серед цих значень будуть числа з різними знаками, те це дозволить виділити всі ділянки, на кінцях яких має різні знаки, а усередині яких знак не міняє. До кожної такої ділянки застосовна процедура уточнення кореня (ділення відрізка навпіл, методи хорд і дотичних).

І ще одне зауваження. Якщо речовинних коріння (усі) рівняння відомі, то по них повністю відновлюються ділянки знакопостоянства функції : треба прорахувати між будь-якими двома сусідніми коріннями й по сукупності знаків отриманих чисел зробити висновок.

Процедуру з'ясування ділянок знакопостоянства похідній можна організувати так. Обчислимо похідні багаточлена : ; помітимо, що похідна - лінійна функція. Тому ділянки її знакопостоянства можна обчислити. Якщо , то вже можливі формальні дії по описаній вище схемі по уточненню корінь вихідного рівняння. Якщо ж , то вирішимо по описаній вище схемі рівняння й по його коріннях установимо ділянки знакопостоянства функції ; потім вирішимо по описаній вище схемі рівняння й по його коріннях визначимо ділянки знакопостоянства функції й так далі, поки не виявиться вирішеним вихідне рівняння .

Отримана в процесі рішення інформація дозволяє встановити також і кратність кожного кореня рівняння ; нагадаємо, що корінь рівняння вважається має кратність , якщо , але . У цьому випадку, як відомо з алгебри, має місце представлення , де - багаточлен ступеня .

Для визначення значення полінома використовується таблиця Горнера.