- •Методичні рекомендації і контрольні завдання до виконання лабораторних робіт
- •Лабораторна робота № 1
- •1. Теоретичні відомості
- •Про наближені обчислення
- •1.2. Лінійні заміни змінних
- •1.3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
- •2. Порядок виконання лабораторної роботи.
- •3. Індивідуальні завдання
- •4. Контрольні питання
- •Лабораторна робота №2 Апроксимація отриманої вибірки відомими математичними залежностями з використання обчислювальної техніки
- •1. Теоретичні відомості
- •Задача апроксимації функції.
- •Інтерполяційний багаточлен Лагранжа й різні форми його запису.
- •Задача рівномірного наближення функції.
- •1.4. Метод найменших квадратів.
- •Багаточлени Бернштейна.
- •2. Порядок виконання лабораторної роботи.
- •3. Індивідуальні завдання
- •4. Контрольні питання
- •Лабораторна робота № 3 Обчислення поліномів за допомогою чисельних методів. Метод Горнера.
- •1. Теоретичні відомості
- •Порядок виконання лабораторної роботи.
- •3. Індивідуальні завдання
- •1. Теоретичні відомості
- •2. Порядок виконання лабораторної роботи.
- •3. Індивідуальні завдання
- •Перелік літератури
- •Додаток а Основи роботи з системою комп’ютерної алгебри MathCad
- •Елементи головного вікна Mathcad'а
- •Короткий огляд можливостей Mathcad Обчислення математичних виразів з використанням вбудованих у Mathcad функцій та операторів
- •Визначення власних змінних та функцій
- •Обчислення функцій та виразів у заданому діапазоні
- •Побудова графіків функцій
- •Візуалізація даних у дво- або тривимірному просторі
- •Обчислення сум та інтегралів
- •Обчислення з матрицями
- •Розв'язування рівнянь чисельно
- •Виконання операцій в символьній формі
- •Аналіз даних та їх підгонка за допомогою стандартних вбудованих функцій
- •Визначення змінних
- •Визначення функцій
- •Побудова математичних виразів
- •Області визначення змінних
- •Визначення векторів і матриць
- •Побудова графіка функції
- •Побудова графіка елементів вектора
- •Побудова графіків двох або більшої кількості функцій
Задача рівномірного наближення функції.
Як і раніше будемо виходити з таблиці значень функції з п.1. Вище ми розглянули задачу інтерполяції функції, що складалася в заміні даної функції іншої, значення якої в крапці інтерполяції й приймається за наближене значення самої функції. Метод Лагранжа полягає в тому, щоб підміну одного числа іншим виявилося можливим оцінити.
Існує інший підхід, іменований рівномірним наближенням. При цьому підході теж відбувається заміна значення на значення деякої функції , причому виявляється можливим оцінити помилку цієї підміни. Будується функція в такий спосіб.
Для здійснення рівномірного наближення повинна бути задана не тільки таблиця з п.1, але й деякий клас функцій G усередині якого й буде виділена функція . Уведемо величину
,
у якій числа беруться з таблиці в п.1, а числа для кожної функції із класу G передбачаються обчислюваними. Функція вибирається як доставляє мінімум величині . Цю функцію називають найкращим рівномірним наближенням функції із класу G. Звичайно, як оцінити різниця в такій ситуації, - це окрема тема, тісно зв'язана як із природою класу G, так і з таблицею з п.1.
1.4. Метод найменших квадратів.
Припустимо, що клас G являє собою множину всіх багаточленів ступеня не переважаючого деякого конкретного числа m. Тоді задача рівномірного наближення функцій здобуває наступний вид:
серед багаточленів знайти такий, при якому величина
приймає мінімальне значення.
Для цього треба знайти такі , при яких функція приймає мінімальне можливе значення, а це відбувається тоді, коли дорівнюють нулю всі її частки похідні:
це - система з m+1лінійних алгебраїчних рівнянь із m+1 невідомими ; можна довести, що ця система завжди сумісна й визначена. Її рішенням і є шуканий багаточлен.
Розпишемо цю систему в традиційній формі, розкривши скобки й привівши подібні члени:
;
включивши процедуру рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь тепер легко одержати відповідь.
Багаточлени Бернштейна.
Припустимо, що функція задана у відрізку [0,1] у точках , при деякому фіксованому n. У цьому випадку можна побудувати багаточлен Бернштейна
Можна довести, що при багаточлени прагнуть до функції рівномірно по x; крім того, для будь-якого конкретного цілого має місце граничне співвідношення для похідних:
Нарешті, відомо, що якщо число задовольняє нерівності на всьому відрізку [0,1], те для кожного із цього відрізка виконується нерівність:
.
Це, звичайно, дозволяє оцінювати помилку, що виникає при відповідній інтерполяційній заміні.
Сказане вище для випадку функції один змінної можна узагальнити на випадок двох і більше змінних. Ми обмежимося узагальненням тільки на випадок двох змінних.
Отже, нехай є функція на квадраті
,
причому реально вона задана у вузлах решітки
,
при заздалегідь фіксованих натуральних числах і . Побудуємо по цій інформації наступний багаточлен від двох змінних:
,
де - біноміальні коефіцієнти. Це - багаточлен Бернштейна для заданої функції на заданих решітці. З його допомогою так само можна здійснювати інтерполяцію, приймаючи його значення в тій або іншій точці квадрата за значення самої функції. Можна довести, що для будь-якої точки квадрата має місце нерівність:
,
яке й дозволяє оцінити погрішність інтерполяції. Тут константи й задовольняють у розглянутому квадраті нерівностям
.
Зауваження. Випадок один змінної розглядався вище на відрізку [0,1], а випадок двох змінних - в одиничному квадраті. У дійсності, розгляди можливі на будь-якому відрізку [a,b] і на будь-якому прямокутнику [a,b;c,d]. Для цього у вихідній ситуації (тобто на довільному відрізку або на довільному прямокутнику) потрібно зробити лінійну заміну змінних. Докладніше: нехай функція задана в точках відрізка , де при деякому фіксованому
Покладемо
тоді
якщо тепер у покласти , то виникне ситуація функції , заданої вже на відрізку [0,1]. Аналогічно, у випадку двох змінних треба зробити заміну
,
після чого виникне ситуація одиничного квадрата.