Вопрос 41. Функции двух переменных. Область определения.

Функция 2х переменных обозначается: z=f(x;y)

Тогда ее область определения Х есть подмножество координат плоскости Оху.

Каждой точке из области определения поставлено по определенному закону z.

(x,y) ∈Д→z∈R

Любой функции z=f(x;y) можно поставить в соответствие две функции одной переменной: при фиксированном значении х=х₀ функцию z=f(x₀;y) и при фиксированном значении у=у₀ функцию z=f(x;y₀). Их вид может отличаться.

Графиком функции двух переменных z=f(x;y) называется множество точек трехмерного пространства (x;y;z). График функции двух переменных z=f(x;y) представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве.

Для построения графика функции z=f(x;y) полезно рассматривать функции одной переменной z=f(x;y₀) и z=f(x₀;y), представляющие сечения поверхности z=f(x;y) плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz.

Пример:

О.Д.З.:

или

1)

2)

1. z=x² +y² (параболоида)

2. z²=x² +y², z>0 (Коническая поверхность)

3. x² +y² +z²=R² (сфера)

4. (эллипсоид)

Вопрос 42. Частные производные

- приращение по х.(у- фиксировано)

- приращение по у(х- фикировано)

Определение: Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношении соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к 0.

Опр.1. - разность отношения по х.

Конечный предел при →0 называется частной производной по х.

Опр.2 - разность отношения по у.

Конечный предел при →0 называется частной производной по у.

Правило нахождения частных производных.

Т.к одна из переменных фиксируется, то она играет роль постоянной, правило дифференцирования для функции одной переменной переносятся для вычисления частных производных.

Пример:

Вопрос 43.Вторые частные производные.

Пример:

Вопрос 44. Локальный экстремум функции 2х переменных.

Определение: Функция z=f(x;y) достигает в точке M₀(x₀;y₀) max, если существует такая окрестность этой точки, что для всех (х;у) из этой окрестности f(x₀;y₀)>f(x;y) и min, если для всех (x;y) из этой окрестности f(x₀;y₀)<f(x;y)

Понятие экстремума – локальное понятие.

Т.к. мы можем зафиксировать одну из переменных (х или у) и двигаться в окрестности точки х₀ и она останется точкой экстремума, то необходимым условием экстремума является равенство 0 первых производных.

Достаточное условие экстремума. Пусть функция z=f(x;y) дважды дифференцируема в точке M₀(x₀;y₀) подозрительной на экстремум, тогда:

- если ∆= Z’’x² Z’’y²-Z’’xy>0

Z’’x² >0 , то M₀ будет min

- если ∆= Z’’x² Z’’y²-Z’’xy>0

Z’’x² >0 , то M₀ будет max

- если ∆<0 – экстремума нет.

Вопрос 45. Первообразная и неопределенный интеграл.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка F’(x)=f(x)

Теорема.

Если F₂(x)-первообразная, то F₁(x)+с также первообразная.

Доказательство:

Графики первообразных параллельны.

Определение. Множество всех первообразных называется неопределенный интегралом .

Вопрос 46. Свойства неопределенного интеграла.

1) Постоянную можно выносить за знак интеграла.

2) Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

3)

Докажем свойство 2:

Дано:

Найдем - есть первообразная для суммы функции f(x)+g(x).

Вопрос 47. Таблица интегралов.

Таблица интегралов проверяется дифференцированием.

Вопрос 48.Интегрировани по частям.

Пусть u(x) и υ(х)- дифференцируемые функции. Тогда d(u∙υ)= υdu +udυ.

Проинтегрируем

или

- интегрирование по частям

Пример:

1)

x=u

sinxdx=dυ

dx=dυ

υ=

υ=-cosx

2)

xdx=dυ

lnx=u

Вопрос 49. Метод замены переменной

, где х=φ(t)- функция, дифференцируемая на промежутке .

Пример:

1)

Замена:

х²=t

2xdx=dx

2)

Замена: lnx=t

Вопрос 50. Интегрирование дробно-рациональной функции.

1)

Дробь правильная, если m>n, в противном случае надо выделить целую часть.

Для интегрирования таких функций надо дробь разложить на простейшие дроби вида:

Алгоритм разложения на простейшие дроби:

1) Найдем корни знаменателя:

а) действительные корни, простые

Корень х=а, ему соответствует

б) действительные корни, но кратные k

x=b, ему соответствует ровно k слагаемых.

в) Комплексные корни, кратные 1

г) Комплексные корни кратности l будет соответствовать l слагаемых.

2) Неизвестные коэффициенты.

A,B₁…B_m,C_1,D – находим методом неопределенных коэффициентов, который состоит в приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях х.

3) Интегрируем простейшие дроби.

(взамен введем полный квадрат)

Пример:

1) (x-2)(x²-3x+2)=0

-x=2

- x²-3x+2=0

x=2 (кратности 2)

x=1

2) 2ч+3=A(x-2)(x-1)+B(x-1)+C(x-2)² (приведем к общему виду ↑)

С=5

А=-5

В=7

3)