- •Вопрос 1. Числовая последовательность. Примеры.
- •Вопрос 2. Ограниченная последовательность.
- •Вопрос 3. Предел числовой последовательности.
- •Вопрос 4. Единственность предела сходящейся последовательности.
- •Вопрос 5. Ограниченность сходящейся последовательности.
- •Вопрос 10. Монотонные последовательности. Число «е».
- •Вопрос 11. Предел функции в точке
- •Вопрос 12. Свойства предела, связанного с арифметическими действиями( для функций)
- •Вопрос 13.Односторонние пределы
- •Вопрос 14. Пределы бесконечности. Бесконечные пределы.
- •Вопрос 15. Первый и второй замечательные пределы
- •Вопрос 16. Бесконечно малые функции. Эквивалентные бесконечно малые и таблица.
- •Вопрос 17. Непрерывность функции в точке. Различные определения.
- •Вопрос 18. Непрерывность суммы произведения и частного в непрерывной функции.
- •Вопрос 19. Непрерывность элементарной функции в области определения.
- •Вопрос 20. Непрерывность функции справа и слева в точке разрыва функции и их классификации.
- •Классификация точек разрыва.
- •Вопрос 21. Теорема о сохранении знаков непрерывной функции.
- •Вопрос 22. Теорема о нуле непрерывной функции и промежуточном значении.
- •Вопрос 23. Теорема об ограниченной функции на отрезке.
- •Вопрос 24. Теорема о достижении наибольшего и наименьшего значений функции.
- •Вопрос 26. Физический и геометрический смысл производной
- •Вопрос 27. Уравнение касательной
- •Вопрос 28. Дифференциал функции и его геометрический смысл.
- •Вопрос 29. Применение производной для приближенных вычислений.
- •Вопрос 30. Теорема Ролля
- •Вопрос 31. Теорема Лагранжа.
- •Вопрос 32. Правило Лопиталя.
- •Вопрос 33. Производные высших порядков
- •Вопрос 38. Исследование функции на выпуклость.
- •Вопрос 39. Асимптоты графика функции.
- •Вопрос 40. Исследование функции и построение графика.
- •Вопрос 41. Функции двух переменных. Область определения.
- •Вопрос 42. Частные производные
- •Правило нахождения частных производных.
- •Вопрос 43.Вторые частные производные.
- •Вопрос 44. Локальный экстремум функции 2х переменных.
- •Вопрос 51. Определение определенного интеграла
- •Вопрос 52.Свойства неопределенного интеграла
- •Вопрос 53.Интегрируемость непрерывной функции
- •Вопрос 54. Интеграл с переменным верхним пределом
- •Вопрос 55. Существование первообразной для непрерывной функции.
- •Вопрос 56.Формула Ньютона-Лейбница
- •Вопрос 57. Замена переменной в определенном интеграле.
- •Вопрос 58.Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •Вопрос 59.Геометрические приложения определенного интеграла(вычисление площади, вычисление длины дуги кривой)
- •1) Вычисление длины дуги кривой
- •Вопрос 65. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Вопрос 66. Абсолютная и относительная сходимость рядов.
Вопрос 51. Определение определенного интеграла
П усть задана функция y=f(x) на отрезке [a;b].
Разобьем сегмент [a;b] произвольно точками деления.
x0=a, x1,x2,…xn=b
∆xi=xi-xi-1
Выберем на участке [xi;xi+1] произвольную точку Сi.
Составим сумму ,
Определение: Предел интегрированных сумм при λ→0 называется определенным интегралом, а функция y=f(x) называется интегрированной на сегменте [a;b]
-конечный предел
В определении определенного интеграла:
1) Произвольное разбиение
2) Произвольный выбор точки Сi
Рассмотрим геометрический смысл определенного интеграла:
Определение: Назовем криволинейной трапецией фигуру, которую образована прямыми x=a,x=b,y=0,y=b(x).
Выясним смысл слагаемого в интегральной сумме :
каждое слагаемое есть площадь прямоугольника со сторонами (∆xi;f(ci)) при λ→0 эти S→S криволинейной трапеции.
Т.к. в определении определенного интеграла предел должен быть конечным, то необходимо, чтобы функция y=f(x) на отрезке [a;b]была ограниченной, т.е. ƎM>0,
Теорема: Все непрерывные функции на [a;b]интегрируемы на этом отрезке.
y=f(x)-непрерывна на [a;b]=> - существует.
Вопрос 52.Свойства неопределенного интеграла
|
|
|
|
Данные свойства вытекают из свойств предела функции.
Докажем свойство 3.
Найдем предел интегрированной суммы.
Свойства, связанные с неравенствами:
|
|
|
|
Свойство 3 вытекает из свойства 2.
Определение: Назовем средним значением функции на [a;b] величину
m≤fcp≤M
Если f(x) непрерывна, то по свойству непрерывной функции это значение fср. примется функцией в некоторой точке С ∈ (a;b)
Поэтому докажем важную теорему о среднем:
Вопрос 53.Интегрируемость непрерывной функции
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на нем.
Вопрос 54. Интеграл с переменным верхним пределом
Пусть y=f(x) интегрируема на [a;b]
, где xi[a;b] называется интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема:
Если функция f(x) непрерывна на [a;b], то функция F(x) также непрерывна на [a;b]
Доказательство:
,
Составим приращение:
Тогда по теореме о среднем:
Устремим ∆x→0:
- а это определение непрерывности функции(бесконечно малому приращению
аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции)
Вопрос 55. Существование первообразной для непрерывной функции.
Теорема: Пусть функция f(x) непрерывна на [a;b] тогда F(x)- дифференцирована на [a;b] и справедлива формула: .
Т.е F(x) является первообразной для функции f(x).
Доказательство:
Составим разностное отношение
, где
Перейдем к пределу при х→0
с→х
F’(x)=f(x)
Вопрос 56.Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x)- любая первообразная для f(x) на [a;b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a;b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е. .
Доказательство:
F’(x)=f(x)
Пример:
Вопрос 57. Замена переменной в определенном интеграле.
Теорема: Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [a;b], а= φ(α), b= φ(β) и функция f(x) непрерывна в каждой точке х вида х= φ(t), где t∈ (a;b).
Тогда справедливо следующее равенство:
Пусть F(x) и Ф(t) — некоторые первообразные для функций f ( x) и f (φ (t))·φ ' (t). Доказано, что F (φ (t)) также является первообразной для функции f (φ (t))·φ ' (t). Тогда найдется такое число С, что Ф(t) = F(φ (t)) + C, где t ∈ [ α, β]. Следовательно,
Ф(β) - Ф(α) = F(φ (β)) + C - (F(φ (α)) + C) = F(b) - F(a).
Использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к «табличному». При этом в отличие от неопределенного интеграла, в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t из уравнений φ (t) = a и φ (t) = b.