Вопрос 10. Монотонные последовательности. Число «е».

Монотонная последовательность — это послед., элементы кт с увелич. номера не убывают, или, наоборот, не возрастают.

Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.

Монотонная последовательность — последовательность , удовл. одному из следующих условий:

-для любого номера выполняется неравенство (неубывающая последовательность),

-для любого номера выполняется неравенство (невозрастающая последовательность).

Среди монотонных последовательностей выделяются строго монотонные последовательности, удовлетворяющие одному из следующих условий:

-для любого номера выполняется неравенство x_{n + 1} > x_n (возрастающая последовательность);

-для любого номера выполняется неравенство x_{n + 1} < x_n (убывающая последовательность).

Число е.

Раскрытие этой неопределенности базируется на теореме:

Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

1) монотонность – последовательность {xn} монотонно возрастает, если ее последующий член > предыдущего; убывает если ее последующий член < предыдущего.

x_n+1>x_n – возрастает

x_n+1<x_n – убывает

2) ограниченная

Формула «бином Ньютона»

По формуле бинома Ньютона:

(т.к. каждая скобка <1)

(геометр. прогрессия) (сумма геом.прогр)

Последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

Вопрос 11. Предел функции в точке

Пусть функция y=f(x) задана в некоторой окрестности точки х₀, кроме, может быть, самой точки х₀.

Определение: Число А называется пределом функции f(x) при х стремящемся к х₀ (или в точке х₀), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдется такое положительное число N>0(зависящее от ε, т.е. N(ε)), что для всех х, не равных х₀ и удовлетворяющее условию , выполняется неравенство f(x) –A< ε.

Этот предел функции обозначается или при .

Смысл определения предела функции f(x) в точке х₀ состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х₀ , значение функции f(x) как угодно мало отличается от числа А(по абсолютной величине).

Вопрос 12. Свойства предела, связанного с арифметическими действиями( для функций)

Пусть последовательность x_n и y_n сходящиеся:

, следовательно справдливо:

1)

2)

3)

4) , если (предел частного = частному пределов, если предел y_n отмечен на прямой)

Вопрос 13.Односторонние пределы

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (или преде́лом спра́ва).

- левый

- правый

Теорема: Для существования предела функции в точке х=а необходимо и достаточно, чтобы левый предел равнялся правому.

=

1)

2 )

3)