- •Вопрос 1. Числовая последовательность. Примеры.
- •Вопрос 2. Ограниченная последовательность.
- •Вопрос 3. Предел числовой последовательности.
- •Вопрос 4. Единственность предела сходящейся последовательности.
- •Вопрос 5. Ограниченность сходящейся последовательности.
- •Вопрос 10. Монотонные последовательности. Число «е».
- •Вопрос 11. Предел функции в точке
- •Вопрос 12. Свойства предела, связанного с арифметическими действиями( для функций)
- •Вопрос 13.Односторонние пределы
- •Вопрос 14. Пределы бесконечности. Бесконечные пределы.
- •Вопрос 15. Первый и второй замечательные пределы
- •Вопрос 16. Бесконечно малые функции. Эквивалентные бесконечно малые и таблица.
- •Вопрос 17. Непрерывность функции в точке. Различные определения.
- •Вопрос 18. Непрерывность суммы произведения и частного в непрерывной функции.
- •Вопрос 19. Непрерывность элементарной функции в области определения.
- •Вопрос 20. Непрерывность функции справа и слева в точке разрыва функции и их классификации.
- •Классификация точек разрыва.
- •Вопрос 21. Теорема о сохранении знаков непрерывной функции.
- •Вопрос 22. Теорема о нуле непрерывной функции и промежуточном значении.
- •Вопрос 23. Теорема об ограниченной функции на отрезке.
- •Вопрос 24. Теорема о достижении наибольшего и наименьшего значений функции.
- •Вопрос 26. Физический и геометрический смысл производной
- •Вопрос 27. Уравнение касательной
- •Вопрос 28. Дифференциал функции и его геометрический смысл.
- •Вопрос 29. Применение производной для приближенных вычислений.
- •Вопрос 30. Теорема Ролля
- •Вопрос 31. Теорема Лагранжа.
- •Вопрос 32. Правило Лопиталя.
- •Вопрос 33. Производные высших порядков
- •Вопрос 38. Исследование функции на выпуклость.
- •Вопрос 39. Асимптоты графика функции.
- •Вопрос 40. Исследование функции и построение графика.
- •Вопрос 41. Функции двух переменных. Область определения.
- •Вопрос 42. Частные производные
- •Правило нахождения частных производных.
- •Вопрос 43.Вторые частные производные.
- •Вопрос 44. Локальный экстремум функции 2х переменных.
- •Вопрос 51. Определение определенного интеграла
- •Вопрос 52.Свойства неопределенного интеграла
- •Вопрос 53.Интегрируемость непрерывной функции
- •Вопрос 54. Интеграл с переменным верхним пределом
- •Вопрос 55. Существование первообразной для непрерывной функции.
- •Вопрос 56.Формула Ньютона-Лейбница
- •Вопрос 57. Замена переменной в определенном интеграле.
- •Вопрос 58.Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •Вопрос 59.Геометрические приложения определенного интеграла(вычисление площади, вычисление длины дуги кривой)
- •1) Вычисление длины дуги кривой
- •Вопрос 65. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Вопрос 66. Абсолютная и относительная сходимость рядов.
Вопрос 14. Пределы бесконечности. Бесконечные пределы.
С понятием предела числовой последовательности an=f(x) тесно связано понятие предела функции y=f(x) в бесконечности. Если в первом случае переменная n, возрастая, принимает лишь целые значения, то во втором случае переменная х, изменяясь, принимает любые значения.
Определение: Число А называется пределом функции y=f(x) при х, стремящимся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε >0, найдется такое положительное число N>0(зависящее от ε; N=N(ε)), что для всех х, таких, что , верно неравенство.
Этот предел функции обозначается или при .
Смысл определения: при достаточно больших по модулю значениях х значения функции f(x) как угодно мало отличается от числа А(по абсолютной величине).
Вопрос 15. Первый и второй замечательные пределы
1)Первым замечательным пределом наз. предел функции в точке х=0, т.е. .
Доказательство:
Для доказательства формулы рассмотрим круг радиуса R c центром в точке 0.
Пусть ОВ- подвижный радиус, образующий угол х (0<x<π/2) c осью Ох.
Из геометрических соображений следует, что площадь треугольник АОВ меньше площади сектора АОВ, которая в свою очередь меньше площади прямоугольного треугольника АОС:
Т.к. ,
,
, то имеем , откуда, разделив части двойного неравенства на , получим или
Т.к. функции cosx и четные, то полученные неравенства справедливы и при - π/2<x<0.
Переходя к пределу при х→0, получаем , . На сновании признака существования предела промежуточной функции
Пример:
2) Второй замечательный предел.
Числом е (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности
2<e<3, e=2,718281…, т.е. число е – иррациональное.
Доказательство:
1)х>0
2) x<0 (доказывается аналогично с заменой х=у)
Любое действительное число х можно заключить между двумя целыми числами
k≤x≤k+1
, поэтому по теореме о 2х сопровождающих
Пример:
Вопрос 16. Бесконечно малые функции. Эквивалентные бесконечно малые и таблица.
Функция f(x) называется бесконечно малой при x, стремящемся к a, если
Если , то a и b называют бесконечно малыми одного порядка.
Если , то говорят, что a(x) ,бесконечно малая более высокого порядка.
Если , то a(x)бесконечно малая более низкого порядка.
Если не существует, то a и b называют несравнимыми бесконечно малыми.
Две бесконечно малые функции при х→а наз. эквивалентными, если предел их отношений равен 1.
а(х)~b(х) х→а
Таблица эквивалентных бесконечно малых:
sinx~x |
ax-1~x lna |
tgx~x |
ex-1~x |
1-cosx~x2/2 |
loga(1+x) ~x logae |
arcsinx~x |
ln(1+x) ~x |
arctgx~x |
(1+x)α-1~αx |
Правило:
При вычислении пределов в произведении одну бесконечно малую величину можно заменять на ей эквивалентную бесконечно малую.
Вопрос 17. Непрерывность функции в точке. Различные определения.
Определение 1.
Функция называется непрерывной в точке х0, если предел при х→х0 сущствует и равен значению функции в этой точке.
Определение непрерывности функции в точке х0 может быть записано и так:
т.е. для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.
Определение 2.
- приращение функции.
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0 , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции :
Если ∆х→0, то ∆у→0.
Точка х0 наз. точкой разрыва функции, если эта функция в данной точке не явл. непрерывн.Различ. точки разрыва 1ого рода(когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при х→х0 , не равные др. др.) и 2ого рода(хотя бы один из односторон. пределов слева или справа равен бесконечности либо не сущ.)
Свойства функций, непрерывных в точке:
1) Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то их сумма, произведение и частное являются функциями, непрерывными в точке х0.
2) Если функция y=f(x) непрерывна в точке х0 и f(x0)>0, то существует такая окрестность точки х0 , в которой f(x)>0.
3) Если функция y=f(u) непрерывна в точке u0 , а функция u=g(x) непрерывна в точке u0=g(x0), то сложная функция y=f(g(x)) непрерывна в точке х0