18. Скалярное нелинейное уравнение. Метод касательных.
Р ассмотрим функцию одной переменной f(x).
Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
Корней может быть либо:
1)нечетное множество;
2)счетное множество;
3)конечное множество.
Поэтому, как правило, оговаривается интервал, в котором ищутся корни.
Функция имеет единственный корень на отрезке когда она:
1)непрерывна на отрезке , т.е. ;
2)на концах имеет значение разных знаков, т.е.
3)строго монотонна (для дифференцируемых функций строгая монотонность эквивалентна знакопостоянству производной).
Прежде чем решить задачу (1) требуется отделить корни, т.е. указать такие интервалы , каждый из которых содержит единственный корень.
Если функция - достаточно простая функция, то отделение корней можно осуществить графически. Если же вид функции сложный или функция не задана явно, то отделение корней осуществляется программно.
Для отделения корней поступают следующим образом:
задается некоторый шаг
ищутся отрезки длины изменения знака функции.
Будем считать, что корни уравнения (1) отделены и будем рассматривать отрезок , где существует единственный корень.
Метод касательных
Потребуется , чтобы - была дважды дифференцируема на .
Р
ассмотрим
4 случая, различающиеся знаком 1-ой и
2-ой производной.
1
.
2.
3.
4.
Р
ассмотрим
2-ой случай.
2.
Напишем уравнение касательной в точке А
К
ритерий
выбора точки: Через точку будет
проведена касательная тогда и только
тогда, когда
где t=а или t=b.Если
- тогда выбирается точка A для начального
построения касательной и применяется
формула (*), где,
т.е. случаи 2 и 3, а если
,
то выбирается B и
применяется формула (*), где
,
т.е. случаи 1 и 4.
(*)
20.Скалярное нелинейное уравнение. Комбинированный метод хорд и касательных.
Р ассмотрим функцию одной переменной f(x).
Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
Корней может быть либо:
1)нечетное множество;
2)счетное множество;
3)конечное множество.
Поэтому, как правило, оговаривается интервал, в котором ищутся корни.
Функция имеет единственный корень на отрезке когда она:
1)непрерывна на отрезке , т.е. ;
2)на концах имеет значение разных знаков, т.е.
3)строго монотонна (для дифференцируемых функций строгая монотонность эквивалентна знакопостоянству производной).
Прежде чем решить задачу (1) требуется отделить корни, т.е. указать такие интервалы , каждый из которых содержит единственный корень.
Если функция - достаточно простая функция, то отделение корней можно осуществить графически. Если же вид функции сложный или функция не задана явно, то отделение корней осуществляется программно.
Для отделения корней поступают следующим образом:
задается некоторый шаг
ищутся отрезки длины изменения знака функции.
Будем считать, что корни уравнения (1) отделены и будем рассматривать отрезок , где существует единственный корень.
Комбинированный метод хорд и касательных
С уть метода заключается в поочередном применении метода хорд и метода касательных. Проводим хорду и касательную, сужая этим интервал поиска решения. В новом интервале, опять применяя методы хорд и касательных и т.д. Т.о. мы зажимаем искомый корень. Потребуется , чтобы - была дважды дифференцируема на .Существует 4 случая.
1 .
2.
3.
4.
Рассмотрим второй поподробнее.
,
Л
юбая
точка отрезка
может быть взята за решение , при условии
выхода
.
Решением лучше взять точку
.