Степенной метод.
Степенной метод является итерационным методом. Он решает неполную проблему собственных значений. С помощью метода определяется наибольшее по модулю собственное значение и соответствующий собственный вектор матрицы.
Рассмотрим матрицу
.Будем
предполагать, что матрица А обладает
полным набором различных собственных
значений и собственных векторов, т.е.
Б
ез
ограничения общности рассуждения будем
считать , что
Обозначим соответствующие собственные векторы через
Степенной метод имеет задачу нахождения пары:
Возьмем вектор
и построим последовательность векторов
{
}
по следующему правилу:
…
Поскольку собственные знания матрицы А различны, собственные векторы - линейно не зависимы .
В пространстве
они образуют базис и, следовательно,
любой вектор пространства можно
разложить по этому базису. Разложим
вектор
:
.Тогда
…..
Рассмотрим вектора
покомпонентно:
,
,
следовательно,
у него есть не нулевые компоненты.
Пусть такая
компонента
.
Найдем отношение
Процесс прекращается,
когда выполняется следующее условие:
т.о. находиться
.
Для лучшей точности находят отношение по некоторому количеству ненулевых пар и определяют окончание итерационной процедуры при выполнения условия для каждой такой пары.
Вектор
- есть приближение к собственному
вектору
.
Покажем это:
где
.
Поскольку собственный вектор определяется с точностью до множителя, то в качестве собственного вектора может быть принят вектор .
Замечание.
Метод позволяет находить и остальные собственные значения поочередно. Существуют процедуры позволяющие исключать из рассмотрения уже найденные собственные значения.
Скорость
сходимости степенного метода не меньше
чем скорость сходимости геометрической
прогрессии со знаменателем
.
17. Скалярное нелинейное уравнение.Метод половинного деления (дихотомии).
Р
ассмотрим
функцию одной переменной f(x).
Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
Корней может быть либо:
1)нечетное множество;
2)счетное множество;
3)конечное множество.
Поэтому, как правило, оговаривается интервал, в котором ищутся корни.
Функция имеет
единственный корень на отрезке
когда она:
1)непрерывна на
отрезке
,
т.е.
;
2)на концах имеет
значение разных знаков, т.е.
3)строго монотонна (для дифференцируемых функций строгая монотонность эквивалентна знакопостоянству производной).
Прежде чем решить
задачу (1) требуется отделить корни, т.е.
указать такие интервалы
,
каждый из которых содержит единственный
корень.
Если функция
- достаточно простая функция, то отделение
корней можно осуществить графически.
Если же вид функции сложный или функция не задана явно, то отделение корней осуществляется программно.
Для отделения корней поступают следующим образом:
задается некоторый шаг
ищутся отрезки длины изменения знака функции.
Будем считать, что корни уравнения (1) отделены и будем рассматривать отрезок , где существует единственный корень.