5.3. Інші методи розв’язання
Багато сучасних методів розв’язання системи (5.1) будуються на інших ідеях, ніж ті, що розглянуто вище.
А саме, велику популярність у наш час набули методи, що зводять розв’язання системи (5.1) до задачі відшукання екстремуму функції багатьох змінних.
Наприклад, розглянемо функцію
Ф(x1
,x2
, … , xn)
=
fi2(x1
,x2
, … , xn)
.
Ясно, що кожному розв’язку x*=(x1*,x2* , … , xn*) системи (5.1) відповідає нульовий мінімум функції Ф(x) та, навпаки, кожна точка нульового мінімуму Ф(x) дає розв’язок системи (5.1). Отже, задача відшукання розв’язків системи (5.1) зводиться до задачі відшукання точок нульового мінімуму допоміжної функції Ф(x) . Для розв’язання цієї задачі застосовуються градієнтні методи, методи покоординатного спуску і т. і. У цьому курсі не розглянуто ці методи, оскільки вони докладно будуть вивчатись у курсі “Математичні методи дослідження операцій” та супутніх спецкурсах, присвячених вивченню методів оптимізації.
6. Завдання до розрахунково-графічної роботи
По кожному завданню звіт має містити такі пункти:
постановка задачі;
стисле викладання методу її розв’язання ;
обчислювальна схема методу(алгоритм);
текст відповідної програми на С++(бажано);
результат розрахунку;
оцінювання точності.
Звіт оформлюється за стандартною формою, що прийнята в університеті.
6.1. Завдання 1
Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь Ах = з точністю =0,001. Обчислити визначник |A| та обернену матрицю А-1.
1.1.
A=
; =
.
1.2.
A=
; =
.
1.3.
A=
; =
.
1.4.
A=
; =
.
1.5.
A=
; =
.
1.6.
A=
; =
.
1.7.
A=
; =
.
1.8.
A=
; =
.
1.9.
A=
; =
.
1.10.
A=
; =
.
1.11.
A=
; =
.
1.12.
A=
; =
.
1.13.
A=
; =
.
1.14.
A=
; =
.
1.15.
A=
; =
.
1.16.
A=
; =
.
1.17.
A=
; =
.
1.18.
A=
; =
.
1.19.
A=
; =
.
1.20.
A=
; =
.
1.21.
A=
; =
.
1.22.
A=
; =
.
1.23.
A=
; =
.
1.24.
A=
; =
.
1.25.
A=
; =
.
1.26.
A=
; =
.
1.27.
A=
; =
.
1.28.
A=
; =
.
1.29.
A=
; =
.
1.30.
A=
; =
.
6.2. Завдання 2
Відшукати власні значення та власні вектори матриці з точністю =0,001.
2.1.
A=
.
2.2.
A=
.
2.3.
A=
.
2.4.
A=
.
2.5.
A=
.
2.6.
A=
.
2.7.
A=
.
2.8.
A=
.
2.9.
A=
.
2.10.
A=
.
2.11.
A=
.
2.12.
A= .
2.13.
A=
.
2.14.
A=
.
2.15.
A=
.
2.16.
A=
.
2.17.
A=
.
2.18.
A=
.
2.19.
A=
.
2.20.
A=
.
2.21.
A=
.
2.22.
A=
.
2.23.
A=
.
2.24.
A=
.
2.25.
A=
.
2.26.
A=
.
2.27.
A=
.
2.28.
A=
.
2.29.
A=
.
2.30.
A=
.
6.3. Завдання 3
Відокремити розв’язки рівняння графічно або аналітично та обчислити один з точністю =0,001.
3.1. 1) lnx+(x+1)3=0; 2) x3+2x2+2=0.
3.2. 1) 2xx=1; 2) x3-3x2+9x-10=0.
3.3. 1)
=1/x; 2)
x3-2x+2=0.
3.4. 1) x-cosx=0; 2) x3+3x-1=0.
3.5. 1) 3x+cosx+1=0; 2) x3+x-3=0.
3.6. 1) x+lgx=0,5; 2) x3+0,4x2+0,6x-1,6=0.
3.7. 1) 2-x=lnx; 2) x3+0,2x2+0,4x-1,4=0.
3.8. 1) (x-1)2=½ex; 2) x3-0,1x2+0,4x+2=0.
3.9. 1) (2-x)ex=1; 2) x3+3x2+12x+3=0.
3.10. 1) 2,2x-2x=0; 2) x3+0,2x2+0,5x-1=0.
3.11. 1) x2+4sinx=0; 2) x3-0,1x2+0,4x+1,2=0.
3.12. 1) 2x-lgx=7; 2) x3-3x2+12x-12=0.
3.13. 1) 5x-8lgx=8; 2) x3-0,2x2+0,5x-1,4=0.
3.14. 1) 3x-ex=0; 2) x3+2x-4=0.
3.15. 1) x(x+1)2=1; 2) x3-3x2+6x-5=0.
3.16. 1) x=(x+1)3; 2) x3+0,2x2+0,5x+0,8=0.
3.17. 1) x2=sinx ; 2) x3+4x-6=0.
3.18. 1) x3=sinx; 2) x3+0,1x2+0,4x-1,2=0.
3.19. 1)
x=
; 2)
x3+3x2+6x-1=0.
3.20. 1) x2=ln(x+1); 2) x3-0,1x2+0,4x-1,5=0.
3.21. 1) 2x+lgx=-0,5; 2) x3-3x2+6x-2=0.
3.22. 1) 2x+cosx=0,5; 2) x3-0,2x2+0,3x-1,2=0.
3.23. 1) sin0,5x+1=x2; 2) x3-3x2+12x-9=0.
. 1) 0,5x+lg(x-1)=0,5; 2) x3+0,2x2+0,5x-2=0.
3.25. 1) sin(0,5+x)=2x-0,5; 2) x3+3x+1=0.
3.26. 1) x2=sinx+1; 2) x3-3x2+6x-5=0.
3.27. 1) 2sin(x-0,6)=1,5-x; 2) x3-3x2+1=0.
3.28 1) 2x+cosx=1; 2) x3-0,1x2+0,4x+1,2=0.
3.29 1) x3-sinx=3; 2) x3-4x2+10x-10=0.
3.30 1) 2x+lgx=-0,5; 2) x3-0,1x2+0,3x-0,6=0.