4.9. Метод Ліна вилучення множників

Метод Ліна, або метод передостанньої остачі, вилучення множника g₂(x) другої ступені з багаточлена такий. Нехай

_n(х)=хⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n (4.21)

полягає у наступному. За початкове наближення g_2,1(x) беремо деякий багаточлен другої ступені g_2,1(x)=х²+b₁^(4.18)x+b₂^(4.18) та здійснює ділення _n(х) на g_2,1(x) доти, поки у остачі одержимо багаточлен другої ступені - передостанню остачу. За наступне наближення g_2,2(x) беремо цю остачу, що поділена на коефіцієнт при х² – зведену передостанню остачу. Далі процес повторюється , тобто якщо вже знайдене k-е наближення до g₂(x)

g_2,к(x)= х²+b₁^(к)x+b₂^(к) ,

то g_2,к+1(x) визначається як зведена передостання остача від ділення багаточлена _n(х) на g_2,к(x). Процес продовжуємо доти, поки коефіцієнти двох послідовних наближень будуть збігається у межах заданої точності.

Ділення багаточлена _n(х) на трьохчлен х²+b₁^(к)x+b₂^(к) до одержання передостанньої остачі можна виконати за схемою (що аналогічна схемі Горнера)

| 1 a₁ a₂ a₃ … a_n-3 a_n-2 a_n-1 a_n

-b₁^(k) | -b₁^(k) -b₁^(k)c₁^(k) -b₁^(k)c₂^(k) … -b₁^(k)c_n-4^(k) -b₁^(k)c_n-3^(k)

-b₂^(k) | -b₂^(k) -b₂^(k) c₁^(k) ... -b₂^(k) c_n-5^(k) -b₂^(k)c_n-4^(k) -b₂^(k) c_n-3^(k)

_____|_______________________________________________________________________

1 c₁^(k) c₂^(k) c₃^(k) … c_n-3^(k) d₀^(k) d₁^(k) d₂^(k),

де останній рядок є сума перших трьох, при цьому х^n-2+c₁^(k) x^n-3+…+c_n-3^(k)x – передостання частка, а d₀^(k)x²+d₁^(k)x+d₂^(k) –передостання остача.

Практично прийнятних критеріїв збіжності цього методу у загальному випадку не існує.

Остання частка є наближеним зображенням другого множника, що доповнює шуканий множник g₂(x) до _n(х). Вона у загальному випадку має вигляд х^n-2+c₁^(k) x^n-3+…+c_n-3^(k)x+ d₀^(k).

4.10. Вилучення квадратичного множника за методом Хічкока

Задовільну збіжність при вдалому початковому наближенні дає наступний алгоритм вилучення квадратичного множника з багаточлена (4.21)

1. Беремо початкове наближення x²+p⁽⁰⁾x+q⁽⁰⁾ (наприклад, можна взяти p⁽⁰⁾=0, q⁽⁰⁾=0, тобто за початкове наближення беруть х²).

2. Знаходимо остачу і частку від ділення _n(х) на x²+p⁽⁰⁾x+q⁽⁰⁾, тобто знаходимо P(p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾)x+Q(p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾) та L(x) такі, що

_n(х) = L(x)( x²+p⁽⁰⁾x+q⁽⁰⁾)+ P(p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾)x+Q(p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾).

3. Частку L(x) знову ділять на x²+p⁽⁰⁾x+q⁽⁰⁾ , знаходять остачу

R(p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾)x+S(p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾).

4. Знаходять частинні похідні від P,Q,R,S з співвідношень

P_p’(p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾)=p⁽⁰⁾ R(p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾) - S(p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾),

P_q’(p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾)= -R(p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾),

Q_p’(p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾)= q⁽⁰⁾R(p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾),

Q_q’(p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾)= -S(p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾).

5. Наступне наближення x²+p⁽¹⁾x+q⁽¹⁾ знаходять шляхом розв’язання системи рівнянь

P_p’(p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾)[ p^(4.18)- p⁽⁰⁾]+ P_q’(p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾)[ q^(4.18) - q⁽⁰⁾)]= -P(p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾),

Q_p’(p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾)[ p^(4.18)- p⁽⁰⁾]+ Q_q’(p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾)[ q^(4.18) - q⁽⁰⁾)]= -Q(p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾).

6. Далі процес повторюємо з заміною p⁽⁰⁾, q⁽⁰⁾ на p⁽¹⁾, q⁽¹⁾ , а останніх на p⁽²⁾, q⁽²⁾ і обчислюємо p⁽²⁾, q⁽²⁾ . І так далі доти, поки коефіцієнти p^(к), q^(к) двох послідовних наближень будуть збігатися у межах заданої точності.