Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Методи розвязання (методичка 1).doc
Скачиваний:
17
Добавлен:
28.04.2019
Размер:
2.64 Mб
Скачать

2.7. Ітераційні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Розглядається система лінійних алгебраїчних рівнянь

(2.80)

де - квадратна матриця вимірності - вектор - стовпець правих частин системи, - вектор-стовпець невідомих.

Ідея найпростіших ітераційних методів розв’язання системи (2.80) полягає у наступному. За допомогою еквівалентних перетворень система (2.80) зводиться до системи вигляду

(2.81)

де - квадратна матриця - відомий вектор.

Потім задається деяке початкове наближення (наприклад, як береться вектор , або деякий розв’язок системи (2.80), який одержується іншим методом з деякою похибкою). Інші наближення послідовно знаходяться за рекурентною формулою

(2.82)

доки на деякому кроці не буде досягнута задана точність  обчислення значення невідомого вектора .

Виникає питання, за яких умов на послідовність збігається (у певному розумінні) до точного розв’язку .

Не зупиняючись на подробицях (див. спецкурс “Додаткові розділи чисельного аналізу”), дамо деякі достатні умови, за яких

1) (2.83)

або

2) (2.84)

або

3) (2.85)

Швидкість збіжності оцінюється нерівністю

де - відстань між векторами та , що може бути заданою:

коли виконується умова (2.83);

коли виконується умова (2.84);

коли виконується умова (2.85).

Задаючи потрібну точність  можна з рівності

одержати необхідну кількість ітерацій , щоб досягти задане .

Наведені умови є достатніми для збіжності методу ітерацій, але аж ніяк не необхідними. Необхідні і достатні умови збіжності методу ітерацій дає така теорема, яку сформулюємо без доведення.

Теорема. Нехай система (2.81) має єдиний розв’язок. Послідовні наближення (2.82) збігаються до розв’язку системи (2.81) за довільного початкового наближення тоді та й тільки тоді, коли всі власні значення матриці за модулем менше від одиниці.

Повернемося зараз до способів зведення (2.80) до форми (2.81). Запишемо (2.80) у розгорнутій формі

Якщо для всіх , то можна (2.86) зобразити у вигляді

(2.87)

Звідси два найпростіших ітераційних метода.

Метод Якобі, який задається рекурентним співвідношенням:

(2.88)

Метод Зейделя, де вже знайдені компоненти беруться у правій частині співвідношення з (n+1)-го наближення, а інші - з n-го наближення:

(2.89)

Можна дати матричну форму методів Якобі і Зейделя.

Нехай матрицю А наведено у вигляді:

де - нижня трикутна матриця з нульовою головною діагоналлю; D - діагональна матриця з на головній діагоналі; - верхня трикутна матриця з нульовою головною діагоналлю.

За припущенням існує

Тоді зображенню у формі (2.87) відповідає

або

Отже, методу Якобі відповідає ітераційна процедура

Методу Зейделя відповідає

Використовуючи сформульовані раніш достатні умови збіжності , самостійно переконайтесь, що достатніми умовами збіжності методу Якобі є

або

,

тобто діагональне переваження матриці А.

Можна довести, що за зазначених умов збігається і метод Зейделя.

Покажемо, що до форми (2.81), що задовольняє умови збіжності, може бути зведена довільна система (2.80) з

Дійсно, візьмемо матрицю де - матриця з достатньо малими за модулем елементами. Множачи (2.80) зліва на С маємо

тобто одержали форму (2.81) з

За рахунок вибору достатньо малих можна задовольнити умови збіжності.

Процес ітерації, що збігається, має властивість стійкості, тобто окрема похибка у обчисленнях не позначається на кінцевому результаті, тому що хибне наближення можна розглядати як новий початковий вектор.