ЗМІСТ

4. МЕТОДИ НАБЛИЖЕНОГО РОЗВ`ЯЗАННЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ ТА ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ 34

4.1. Метод поділу відрізку навпіл (метод бісекції, діхотомії) 35

36

4.2. Метод простої ітерації (послідовних наближень) 37

4.3. Класичні ітераційні методи 39

1. Основні поняття теорії похибок

Методичні вказівки містять деякий теоретичний матеріал та завдання до виконання розрахунково-графічної роботи. Враховуючи стислість односеместрового курсу, автори відібрали тільки класичні методи чисельного розв’язання відповідних математичних задач з прозорою алгоритмічною структурою, математичне обґрунтування яких не перевантажене складними логічними побудовами та громіздкими викладками. Коли ж це обґрунтування потребує використання розділів математики, що не входять до основного курсу (наприклад, методів функціонального аналізу), автори відсилають читача до конспекту лекцій спецкурсу “Додаткові розділи чисельного аналізу”. Радимо також настійливо знайомитись з іншими методами розв’язання задач за наведеною у вказівках літературою, які в залежності від ситуації можуть дати більш ефективні алгоритми з точки зору точності та кількості арифметичних операцій для реалізації.

У курсі чисельних методів вивчаються питання побудови, застосування і теоретичного об´рунтування алгоритмів наближеного розв’язування різноманітних класів математичних задач з орієнтацією на використання сучасної обчислювальної техніки.

До програми основного курсу входять наступні розділи чисельних методів:

1. методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь;

2. проблема власних значень і методи її вирішення;

3. методи розв’язування алгебраїчних рівнянь високих степенів і трансцендентних рівнянь; розв’язування систем таких рівнянь;

4. методи наближення функцій дійсного змінного;

5. методи чисельного інтегрування і диференціювання функцій дійсного змінного;

6. методи розв’язування звичайних диференціальних рівнянь.

Обчислювальний алгоритм слід розглядати як необхідну складову обчислювального експерименту – ефективного методу розв’язування природно­наукових задач.

Обчислювальний експеримент можна подати у вигляді наступної схеми:

Чисельний метод (дискретна модель і обчислювальний алгоритм)

Об'єкт дослідження

Математична

модель

Виконання обчислень, аналіз результатів

Програмування для ЕОМ

Рис. 1

1.1. Джерела і класифікація похибок

Похибка розв’язку задачі зумовлюється такими причинами:

1. математичний опис задачі є неточним (модель неадекватна фізичному процесу, неточно задані вхідні дані опису);

2. метод, що застосовується, не є точним: отримання точного розв’язку математичної задачі, що виникає, потребує необмеженого або неприйнятно великого числа арифметичних операцій, тому замість точного розв’язку задачі доводиться вдаватись до наближеного;

3. при введенні даних в машину, при виконанні арифметичних операцій і при виведенні даних виконуються округлення.

Похибки, що відповідають цим причинам, називають:

1. неусувною похибкою;

2. похибкою методу;

3. похибкою обчислення.

Часто неусувну похибку поділяють на дві частини:

а) неусувною похибкою називають лише похибку, що є наслідком неточності задання числових даних, які входять до математичного опису задачі;

б) похибку, що є наслідком невідповідності математичного опису задачі реальності, називають похибкою математичної моделі.