Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Метода_МКЕ_укр

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
12.05.2015
Размер:
447.06 Кб
Скачать

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ НТУУ «КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ» ТЕПЛОЕНЕРГЕТИЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА АПЕПС

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ

З ДИСЦИПЛІНИ

„ОСНОВИ ТЕПЛОТЕХНІКИ”

ДЛЯ СТУДЕНТІВ СПЕЦІАЛЬНОСТІ

«ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ ПРОЕКТУВАННЯ»

РОЗРАХУНОК ДВОВИМІРНОГО СТАЦІОНАРНОГО

ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ

МЕТОДОМ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ

Укладачі Молодід О.К.,

Кузьменко І.М.,

Крячок О.С.

Затверджено каф. АПЕПС протокол №8 від 21-03-2012

Київ 2012

ЗМІСТ

ВСТУП ................................................................................................................................................

3

1.

ПОНЯТТЯ ЛІНІЙНИХ ІНТЕРПОЛЯЦІЙНИХ ПОЛІНОМІВ...................................................

3

2.

ПОБУДОВА ЛІНІЙНИХ ІНТЕРПОЛЯЦІЙНИХ ПОЛІНОМІВ................................................

6

3.

ОДНОВИМІРНА ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ..................................................................

8

4.

ДВОВИМІРНА ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ...................................................................

10

5.

ПРОГРАМНА РЕАЛІЗАЦІЯ МЕТОДУ РОЗРАХУНКУ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ .......

13

6.

ФОРМУВАННЯ СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ ................................

14

7.

ПРИКЛАД ПРОГРАМНОЇ РЕАЛІЗАЦІЇ МЕТОДУ ДЛЯ РОЗРАХУНКУ

 

ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ..........................................................................................................

15

8. ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ..................................................................................................

17

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ..................................................................................................................

20

2

ВСТУП

Розрахунок стаціонарного температурного поля, що входить до методу визначення коефіцієнту тепловіддачі – одна з важливих теплотехнічних задач. Для тіл простої форми розрахунок стаціонарного температурного поля отримується з рівняння теплопровідності за певних граничних умов. Однак, більшість тіл мають складну форму і обрахунок температурного поля в них виконується наближено за чисельними методами. Одним з таких є метод скінченних елементів (МСЕ) описаний нижче [1-4].

МСЕ базується на ідеї апроксимації безперервної функції, що описує температуру, тиск, переміщення і т.д., дискретною моделлю. Модель будується на множині кусочно-безперервних функцій, визначених на скінченній кількості підобластей, названих скінченними елементами. Тобто, складна геометрична форма розбивається на елементи таким чином, щоб на кожному з них невідома функція апроксимувалася поліномом. Причому ці поліноми мають задовольняти граничним умовам задачі та умовам безперервності функції.

У даній роботі розглянуто кілька прикладів розрахунку температурного поля за алгоритмом МСЕ, заснованим на процедурі мінімізації функціоналу, що відповідає розв'язуваній безперервній задачі [1]. У результаті виконання зазначеної процедури відбувається заміщення рівняння у частинних похідних системою лінійних рівнянь. Ці рівняння мають у якості коефіцієнтів апроксимуючі функції, які є значеннями шуканої функції.

1. ПОНЯТТЯ ЛІНІЙНИХ ІНТЕРПОЛЯЦІЙНИХ ПОЛІНОМІВ

Розглянемо особливості побудови лінійних інтерполяційних поліномів, що відповідають симплекс-елементам [4]. На рисунку 1.1 зображено -

а)

б)

Рис. 1.1. Одновимірний (а) і двовимірний (б) симплекс-елементи

одновимірний симплекс-елемент (рис.1.1. а), що представляє собою прямолінійний відрізок довжини L із двома вузлами. Двовимірний симплекс-

3

елемент (рис.1.1. б) – трикутник із прямолінійними сторонами та трьома вузлами в кожній вершині. У двовимірному випадку лінійний інтерполяційний

поліном для симплекс-елемента має

 

 

вигляд

[2]:

1 2 x 3 y . (В

одновимірному випадку y 0 .)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

За умови, що значення полінома у вузлах елемента i, j, k

відповідають значенням функції i

j

 

k

 

в цих вузлах, отримаємо систему

лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими C . Або в розгорнутому

вигляді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i

 

1

 

 

 

 

i

 

 

(1.1)

1

x j

y j

 

 

j

 

 

2

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

y

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

k

3

 

 

 

 

 

 

Визначимо невідомі коефіцієнти

полінома 1 , 2 ,

3

за допомогою відомих

значень шуканої функції у вузлових

точках

P i , j , k з розв'язку

матричного рівняння С( 1) . Тут С ( 1)

– матриця, обернена до C .Запишемо в

розгорнутому вигляді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

1

 

i

 

2

 

b

 

i

 

 

c

 

3

 

i

a j

 

 

i

 

ak

 

 

 

 

 

 

 

(1.2)

bj

bk j

 

c

j

c

 

 

 

 

 

k

 

k

 

Об'єднавши

 

в

 

матрицю

В

множники

 

при

 

в

інтерполяційній

формулі

 

B 1, x, y

одержимо матрицю так званих функцій форми (базисних функцій),

що обчислюється як N B C ( 1) . Якщо i,

 

j,

 

k 1,

2,

3 , відповідно

 

 

 

N [

 

 

 

 

 

 

 

 

X 2Y3 Y2 X 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(Y3 Y2 )

 

 

 

 

 

 

 

X Y Y X

3

X Y Y X

3

X Y Y X

2

X

Y Y X

3

X Y Y X

3

X Y Y X

2

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

2

 

 

1

3

 

 

1

 

 

 

1

2

 

 

1

 

 

 

2

 

3

 

2

 

1

3

 

1

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y( X 3 X 2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

Y Y X

3

X Y Y X

3

X Y Y X

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

2

 

 

 

 

1

3

1

 

 

 

 

1

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1Y3 Y1 X 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(Y3 Y1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X Y Y X

3

X Y Y X

3

X Y Y X

2

 

X Y Y X

3

X Y Y X

3

X Y Y X

2

 

 

 

2

3

 

2

 

 

 

1

3

 

1

 

 

 

1

2

 

1

 

 

 

 

 

2

3

 

 

2

 

 

 

1

3

1

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y( X 3 X1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

Y Y X

3

X Y Y X

3

X Y Y X

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

2

 

 

 

 

1

3

1

 

 

 

 

1

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1Y2 Y1 X 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(Y2 Y1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X Y Y X

3

X Y Y X

3

X Y Y X

2

 

X Y Y X

3

X Y Y X

3

X Y Y X

2

 

 

 

2

3

 

2

 

 

 

1

3

 

1

 

 

 

1

2

 

1

 

 

 

 

 

2

3

 

 

2

 

 

 

1

3

1

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y( X 2 X1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

Y Y X

3

X Y Y X

3

X Y Y X

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

2

 

 

 

 

1

3

1

 

 

 

 

1

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді інтерполяційний поліном для шуканої функції може бути отриманий наступною операцією

N P

(1.3)

4

(

 

 

 

 

 

 

 

X 2Y3 Y2 X 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(Y3 Y2 )

 

 

 

 

 

 

 

X

2

Y Y X

3

X Y Y X

3

X Y Y X

2

X Y Y X

3

X Y Y X

3

X Y Y X

2

 

 

 

 

3

 

2

 

1

3

 

1

 

 

1

2

 

1

 

 

 

2

3

 

2

 

1

3

 

1

 

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

y( X

3 X 2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

) 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X 2Y3

Y2 X 3 X1Y3

Y1 X 3 X1Y2 Y1 X

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

X1Y3 Y1 X 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(Y3 Y1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X Y Y X

3

X Y Y X

3

X Y Y X

2

 

X

2

Y Y X

3

X Y Y X

3

X Y Y X

2

 

 

2

3

 

2

 

 

1

3

 

1

 

 

1

2

 

1

 

 

 

 

 

3

2

 

 

1

3

1

 

 

1

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y( X

3 X1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X 2Y3

Y2 X 3 X1Y3

Y1 X 3 X1Y2 Y1 X

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

X1Y2 Y1 X 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(Y2 Y1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X Y Y X

3

X Y Y X

3

X Y Y X

2

 

X

2

Y Y X

3

X Y Y X

3

X Y Y X

2

 

 

2

3

 

2

 

 

1

3

 

1

 

 

1

2

 

1

 

 

 

 

 

3

2

 

 

1

3

1

 

 

1

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y( X

2 X1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

) 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X 2Y3

Y2 X 3 X1Y3

Y1 X 3 X1Y2 Y1 X

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наприклад, функція має значення P 40,34,26 в точках відповідно за X 1,0,2 та Y [2,0,0] . Тоді, матриця C

1

1

2

 

 

 

 

 

 

 

C 1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

Перемножуючи вектор на обернену матрицю отримуємо

N [

1

y,1

 

1

x

1

y,

 

1

x

1

y]

2

2

4

2

4

 

 

 

 

 

 

За

формулою

(1.3)

 

34 4x 5y . Отримане рівняння площини, як

апроксимуючої функції, відображене графічно

Рис. 1.2. Рівняння апроксимуючої площини.

Наприклад, у точці з координатами (1, 0.5) маємо значення функції 32.5 .

5

2. ПОБУДОВА ЛІНІЙНИХ ІНТЕРПОЛЯЦІЙНИХ ПОЛІНОМІВ

Апроксимуємо всю область поліномами на основі відомих точок. У загальному вигляді інтерполяційний поліном, отриманий за формулою (1.3) має вид Ni i , де i – індекс, що вказує на певний елемент.

Включення двовимірного елемента в область проілюструємо на прикладі області п’ятикутної форми (рисунок 2.1)

Рис. 2.1. Тріангуляція області п’ятикутної форми

 

Припустимо, що в

шести

вузлах з координатами X 1,3,2,4,2,0

і

Y 0,0,1,1,2,1 функція має

значення

2.5,3,3,2,3.5,3 . Розіб’ємо форму на

5

елементів. Кожен з елементів описується трьома крайніми точками, що характеризуються координатами x, y і значенням функції в точці . Складемо масив, що характеризує всю п’ятикутну форму. Кожна строчка масиву містить координати x, y кожного з елементів та відповідні їм значенням функції при обході елементу, починаючи з певного вузла проти годинникової стрілки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

3

0

2

1

2.5

3

3

 

 

 

G

2

1

3

0

4

1

3.0

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

1

4

1

3.5

3

2

 

0

1

2

1

2

2

3.0

3

3.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

2

1

0

1

2.5

3

3

 

Задамо вектор коефіцієнтів B ( для обчислення базисних функцій) і вектор , у якім будуть накопичуватися поліноми, що апроксимують безперервну функцію усередині кожного елемента. Оформимо цикл матричних обчислень для 5 елементів схематично.

6

i=

1,2,3,4,5

1 G(i,1)

G(i,2)

C 1

G(i,3)

G(i,4)

 

 

 

1

G(i,5)

G(i,6)

 

 

 

N B inverse C

P[G(i,7), G(i,8), G(i,9)]

(i) N P

(*)

Рис. 2.2. Схема обрахунку апроксимуючих поліномів для складної форми.

Наприклад, для i =1 отримано

1

1

0

 

 

 

C 1

3

0

, N [1.5 0.5x 0.5y,

0.5 0.5x 0.5y

y], P [2.5, 3, 3] ,

 

 

 

 

 

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.25 0.25x 0.25y .

У кінцевому результаті, вектор п'яти поліномів для п'яти елементів має вид

2.25 0.25x 0.25 y,4.5 0.5x 0.5y,3.5 0.5x 0.5y,2.5 0.5y,2.5 0.5y , що графічно

зображений на рисунку 2.3.

Рис. 2.3. Апроксимація області п’ятьма поліномами

7

3. ОДНОВИМІРНА ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ

Одновимірний розподіл температур розглянемо на прикладі стрижня з теплоізольованою бічною поверхнею (рис. 3.1). У варіаційнім обчисленні встановлено, що для мінімізації функціонала

 

 

2

 

 

 

 

 

K

 

T x

 

1 T Tw

2

 

 

x

 

 

 

 

 

dV qT

 

dS

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

необхідно, щоб задовольнялося диференційне рівняння

 

2

 

 

K

 

 

T x

0

 

2

 

x

 

 

 

 

 

 

(3.1)

(3.2)

з граничними умовами

 

 

 

 

K

 

T x

q T Tw 0 .

(3.3)

x

 

 

 

 

У формулах (3.1-3.3) T температура, K – коефіцієнт теплопровідності, q – тепловий потік заданої інтенсивності, – коефіцієнт конвективного теплообміну, Tw – температура навколишнього середовища, V – об'єм стрижня, S – площа поперечного перерізу стрижня, x – координата уздовж осі стрижня.

Таким чином, будь-який розподілT (x) , при якім функціонал (3.1) стає мінімальним, є розв'язком вихідної задачі теплопровідності (3.2-3.3).

Рис.1. Геометрія круглого стрижня

Розглянемо приклад, одновимірного потоку тепла в стрижні з теплоізольованою бічною поверхнею (рис. 3.1).

Представимо стрижень дискретною моделлю, що містить п'ять вузлових точок m , m 1...5 з координатами X 1,2,3,4,5 . Площа поперечного перерізу

стрижня A . Коефіцієнт теплопровідності сталий і рівний K i 1 Вт/м/К. У

граничних точках відомі значення температури [1] 0 , [5] 100 С.

 

 

Сформуємо допоміжну матрицю даних G, розмірністю m 1 рядків і 11

стовпчиків G[4,

11]. При формуванні врахуємо, що qi i Twi 0 .

 

 

Формування матриці проводимо по строках. При цьому для першого

рядка маємо

 

 

 

 

 

G[1,

1] X [1] , G[1,

2] X [2] , G[1,

3] [1] , G[1,

4] [2] , G[1,

5] q[1] , G[1,

6] q[2] ,

G[1,

7] [1], G[1,

8] [2] , G[1,

9] Tw[1] , G[1,

10] Tw[2] , G[1,

11] K[1] .

 

8

В цілому отримуємо

 

1

2

0

[2]

0

0

0

0

0

0

1

G

2

3

[2]

[3]

0

0

0

0

0

0

1

 

3

4

[3]

[4]

0

0

0

0

0

0

1

 

4

5

[4]

100

0

0

0

0

0

0

1

За граничних умов другого роду при контакті з навколишнім середовищем задається температура середовища Tw.

У даному випадку – граничні умови першого роду і Tw[i]=0, коефіцієнти тепловіддачі навколишнього середовища [i]=0. Також можна ввести різний коефіцієнт теплопровідності на окремих елементах.

Для кожного з i окремих елементів обчислюємо інтерполяційні поліноми та функціонали. При обрахунку інтерполяційних поліномів і функціоналів використовуємо схему обрахунку (*), наведену вище.

В результаті, для першого елементу маємо

1

1

, B 1

x , N [2 x

1 x] ,

P [0,

[2]] .

C

 

1

2

 

 

 

 

 

Отримуємо функціонал [1] ( 1 x) [2] . Відповідно до формули (3.1)

 

K

 

2

1

 

2

 

отримуємо [1]

 

 

 

[1]

A

 

 

 

[2] .

 

x

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

Аналогічно для точок 2-4

[2] (3 x) [2] ( 2 x) [3], [2] 12 [2] [3] 2 ,[3] (4 x) [3] ( 3 x) [4] , [3] 12 [3] [4] 2 ,

 

[4] (5 x) [4] 400 100 x , [4]

1

[4] 100 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

Маємо сумарний функціонал

 

[i] 2 [2] [2] [3] 2 [3] [4] 2 [4] 100 2

 

 

i

 

 

 

 

 

 

Похідні від сумарного функціоналу по кожній з функцій прирівнюємо

нулю

 

 

0

для пошуку мінімуму функціоналу, відповідно до рівняння (3.2).

 

 

 

 

 

[i]

 

Отримуємо систему трьох лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома

невідомими [2],

[3], [4]

 

 

 

0

[2] ( [2] [3]) 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

[2]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

( [2] [3]) ( [3] [4]) 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

[3]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

( [3] [4]) ( [4] 100) 0

 

 

 

 

 

 

 

[4]

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв'язавши

систему, наприклад методом Гауса [5], отримуємо

[2] 25 , [3] 50 ,

[4] 75 .

Аналітичний розв'язок [6] задачі приводить до лінійної функції T aX b , що підтверджує отриманий вище результат.

9

4. ДВОВИМІРНА ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ

Розглянемо задачу теплопровідності у двовимірній постановці. З варіаційної точки зору відшукання мінімуму функціонала

 

 

 

 

T x, y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 K

 

 

K

 

 

 

T x, y

 

 

2QT x, y

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 T x, y Tw

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dV qT x, y

 

dS (4.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

еквівалентно розв'язку диференціального рівняння теплопровідності

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

 

 

T x, y

 

 

 

 

 

K

 

 

 

T x, y

Q

0

 

(4.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

y

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з граничними умовами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q T

Tw 0 ,

 

 

 

 

 

 

K

x

 

 

 

T x, y l

x

K

 

 

 

 

T x, y l

 

(4.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

y

y

 

 

 

 

y

 

 

x, y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де T – температура, K – коефіцієнт теплопровідності, q – тепловий потік заданої інтенсивності, Q – внутрішнє джерело тепла, – коефіцієнт конвективного теплообміну, Tw – температура навколишнього середовища, l напрямні косинуси вектора нормалі до поверхні, V об'єм, S – площа поверхні, x, y координати.

Таким чином, будь-який розподіл T x, y , за якого функціонал (4.1) є мінімальним, буде розв'язком задачі теплопровідності (4.2-4.3).

Розглянемо приклад розрахунку двовимірного температурного поля за граничних умов першого роду в області, що приведена на рис. 2.1.

Як вказано в розділі 2, для шести вузлових точок m 6 і числа елементів

n 5 , координати вузлових точок X 1,3,2,4,2,0 , Y 0,0,1,1,2,1 .

Геометрію кожного з елементів опишемо номерами вузлів проти годинникової стрілки, починаючи з вузла, позначеного на рис. 2.1 зірочкою.

2

3

1

 

 

 

3

2

4

G1 5

3

4

6

3

5

 

 

 

1

3

6

 

 

 

Тріангуляція області в декартових координатах показана на рис. 4.1.

Рис. 4.1.Тріангуляція області

10

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.