1.2. Деякі елементарні факти теорії похибок

Нехай а є точне, і а* - наближене значення деякої величини.

Різниця а – а*= називається похибкою наближеного значення а*. Оскільки точне значення а зазвичай невідоме, то невідоме і точне значення .

Величину |  |=| а – а* | називають абсолютною похибкою а*.

Однак часто буває відома верхня межа абсолютної похибки, тобто таке Δ, що

| а – а* | = |  | ≤ ∆. (1.1)

З виразу (1.1) випливає, що

а*- ∆ ≤ а ≤ а* + ∆, (1.2)

або ще скорочено записують

а = а* ± ∆. (1.3)

Відношення абсолютної похибки || до |а*| називають відносною похибкою а*, а верхню межу цієї величини δ

(1.4)

називають межею відносної похибки а*.

Розглянемо межі абсолютної і відносної похибки при введенні й округленні чисел в ЕОМ.

Як відомо, для запису чисел в ЕОМ найчастіше використовується двійкова система з плаваючою комою.

При введенні числа а в ЕОМ його зазвичай округлюють і наближено записують у вигляді

а ≈ ± 2^р 2^-k = а*, (1.5)

де р визначає порядок числа,

α_k = 0,1 , k ≥ 2, α₁ = 1,

t визначає кількість розрядів мантиси.

При такому поданні абсолютна похибка не більше від одиниці останнього двійкового розряду в наближеному значенні a*:

| а – а* | = |  | ≤ 2^p-t = Δ. (1.6)

Межа відносної похибки при такому поданні може бути визначена так:

(1.7)

Розглянемо оцінку похибки при виконанні найпростіших дій над наближеними числами.

Похибка суми

Нехай а = х₁ + х₂, і відомі наближені значення х₁* і х₂* та межі ∆ ₁ і ∆ ₂ для їх абсолютних похибок. Позначимо похибки доданків ₁ та _2, відповідно.

Тоді

а* = х₁*+ х₂*, а = (х*₁ + ₁) + (х*₂ + ₂) = а* + ₁ + ₂ = а* + .

Отже,

|  | = | а – а* | = | ₁ + ₂ | ≤ | ₁ | + | ₂ | ≤ ∆₁ + ∆₂ = ∆,

тобто

∆ = ∆₁ + ∆_2..

Отже, абсолютна похибка суми не більша за суму меж абсолютних похибок доданків. Це правило розповсюджується на довільне скінченне число доданків.

Аналогічне правило існує і для абсолютної похибки різниці (показати самостійно).

Розглянемо відносну похибку суми.

Очевидно,

(1.8)

Позначимо через

,

межі відносних похибок доданків.

Тоді з (1.8) випливає

(1.9)

Припустимо, що х*_i одного знаку. Тоді

| х*₁ + х*₂ | = | х*₁ | + | х*₂ |.

У цьому випадку

(1.10)

Таким чином, межу відносної похибки суми можна взяти за правилом (1.9), а у разі, коли наближені значення доданків мають однаковий знак, відносна похибка суми не перевищує максимальної відносної похибки доданків.

Самостійно розповсюдити це правило на довільне число доданків.

Похибка добутку

Нехай а = х₁ х₂, а* = х*₁ х*₂. Тоді

|  | = | а – а* | = | (х*₁ + ₁) (х*₂ + ₂) – х*₁ х*₂ | = | х*₁ ₂ + х*₂ ₁ + ₁ ₂ | ≤

≤ | х*₁ | | ₂ | + | х*₂ | | ₁ | + | ₁ | | ₂ | ≤ Δ₁ | х*₂ | + Δ₂ | х*₁ | + Δ₁ Δ₂,

тобто

|  | ≤ Δ₁ | х*₂ | + Δ₂ | х*₁ | + Δ₁ Δ₂ = Δ. (1.11)

При малих Δ₁ і Δ₂

|  | Δ₁ | х*₂ | + Δ₂ | х*₁ | = . (1.12)

Отже, за межу абсолютної похибки добутку можна взяти праву частину (1.11), а при малих межах абсолютних похибок співмножників – праву частину (1.12).

Межу відносної похибки добутку можна отримати з наявних меж абсолютної похибки. Для цього праву і ліву частини (1.11), (1.12) поділимо на

| х*₁ х*₂ | = | х*₁ | | х*₂ |.

Отримуємо при х*₁, х*₂ 0

(1.13)

δ₁ + δ₂ = , при малих δ₁ і δ_2. (1.14)

Отже, за межу відносної похибки добутку можна взяти праву частину (1.13), а при малих δ₁ і δ₂ маємо просте правило: межа відносної похибки добутку наближено дорівнює сумі меж відносних похибок співмножників.

Самостійно отримати оцінку абсолютної і відносної похибок відношення двох величин.