11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения по правой части (метод неопределенных коэффициентов).

Уравнение y’’+Py’+gy=g(x), где P и g – вещественные числа.

Как известно общее решение такого уравнения представляет собой сумму частого решения неопределенного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Общее решение однородного уравнения мы находим:

Y (общее неоднородное)= Y (частное неоднородное) + Y (общее однородное)

Поэтому стоит рассмотреть вопрос о нахождении частного общего решения. Для нахождения частного решения можно применить метод вариации произвольных постоянных. Однако, если в правой части уравнения многочлен, либо показательная функция, либо тригонометрическая функция sinßx или cosßx, либо линейная комбинация перечисленных функций, то частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, не содержащих процесса интегрирования.

1. Правая часть имеет вид

f(x)=P_n(x), где P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1…+a_n-1x+a_n – многочлен степени a.

Тогда частное решение ȳ=Q_n(x)x^r, где Q_n(x) – многочлен той же степени, что и P(x), а r – число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Пример. Найти общее решение уравнения

y’’-2y’+y=x+1

Решение: общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

y= (C₁+C₂x) C, т.к. правая часть уравнения – многочлен первой степени и ни один из корней характеристического уравнения R²+2R+1=0 не равен 0 (k₁=k₂=1), то частное решение имеем в виде

y=(Ax+B) x⁰=Ax+B, где A и B – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды y=Ax+B и подставляя ȳ,ȳ’,ȳ’’ в данное уравнение найдем

-2A+Ax+B=x+1

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в общих частях равенства A=1, B=3. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид

ȳ=x+3, а его общее решение y= (С₁+С₂x)e^x+(x+3)

2. Правая часть имеет вид

f(x)= e^2x P_n(x), где P_n(x) – многочлен степени n.

Тогда частное решение ȳ следует искать в виде

ȳ= Q_n(x)x^r e^2x , где Q_n(x) – многочлен той же степени, что и P_n(x), а r – число корней характеристического уравнения равных α.

Если α=0, то f(x)= P_n(x), т.е. имеет место случай.

Пример. Найти общее решение уравнения

yⁿ+4y’+3y=xe^x

Решение. Характеристическое уравнение k²+4k+3=0, имеет корни k₁=1, k₂=3, значит общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

y= С₁e^x +С₂e^3x. В правой части этого уравнения – произведение многочлена первой степени на показательную функцию e^2x, при 2=1, т.к. среди корней характеристического уравнения имеется только один корень k₁=α=1, то r=1. В данном случае P_n(x) – многочлен первой степени. Поэтому частное решение данного уравнения имеем в виде

ȳ=(Ax+B)xe^x=(Ax²+Bx)e^x

Дифференцируя и подставляя в уравнение получаем

-4Ax+2A -2B=x. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях равенства

-4A=1; 2A-2B=0, находим

A=-1/4; B=1/4

Подставляя найденные значения A и B в выражение для ȳ получаем частное решение данного уравнения

ȳ==-(1/4)( x²+x)e^x

Общее решение имеет вид

y=ȳ+y= С₁e^x +С₂e^3x-1/4( x²+x)e^x

3. Правая часть имеет вид

f(x)=acosßx+bsinßx, где a,b и ß известные числа.

Тогда частное решение ȳ надо искать в виде

ȳ=( Acosßx+Bsinßx)x^r, где A и B – неизвестные коэффициенты, а r – число корней характеристического уравнения равных iƥ.

Пример. Насти общее решение уравнения

y’’+y=sinx

Решение. Характеристическое уравнение

K²+1=0 имеет корни k₁=I, k₂=-i, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения

y=C₁cosx+C₂sinx

В правой части равенства – тригонометрическая функция sinx, т.е. a=0, b=1, ß=1. Т.к. iß=1 – корень характеристического уравнения, то r=1 и частное решение надо искать в виде

ȳ=( Acosx+Bsinx)

Дифференцируя и подставляя в уравнение получим

2( -Acosx+Bsinx)=sinx

Откуда A=-1/2; B=0

Таким образом частное решение ȳ=-(1/2) xcosx

Общее решение y=ȳ+y= C₁cosx+C₂sinx-1/2xcosx

4. Правая часть имеет вид

f(x)= e^2x [P_n(x) cosßx+ P_m(x) sinßx], где P_n(x) – многочлен степени n, а P_m(x) – многочлен степени m. Тогда частное решение следует искать в виде.

ȳ= x^r e^2x [Q₁(x) cosßx+ Q₂(x) sinßx] , где Q₁(x) и Q₂(x) – многочлены степени S.

S =max [n;m], а r- число корней характеристического уравнения, равных α+iß.

Пример. Найти общее решение уравнения.

y’’-y=3e

Общее решение однородного уравнения такого

y=C₁ e^x+C₂ e^-x. В правой части уравнения произведение многочлена нулевой степени, показательной функции и тригонометрической функции, так что P_n(x) =3, P_m(x) =0

S=0 степени 0.